17.4 多元微积分链式法则 ​

摘要 ​

1. （链式法则的应用其一）设$f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$和$g:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$都是可微函数，我们把函数$h:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^2$定义为$h(x):=(f(x),g(x))$，然后令$k:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$表示乘法函数$k(a,b):=ab$，然后可以注意到：

   $$Dh(x_0)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }f(x_0)\\ \mathrm{\nabla }g(x_0)\end{array}\right)Dk(a,b)=\left(\begin{array}{c}b,a\end{array}\right)$$

   然后应用链式法则，我们有：

   $$D(k\circ h)(x_0)=\left(\begin{array}{c}f(x_0),g(x_0)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }f(x_0)\\ \mathrm{\nabla }g(x_0)\end{array}\right)=g(x_0)\mathrm{\nabla }f(x_0)+f(x_0)\mathrm{\nabla }g(x_0)$$

   然后又有$k\circ h=fg$，因此$D(fg)=\mathrm{\nabla }(fg)$，从而这便给出了乘积法则：

   $$\mathrm{\nabla }(fg)=g\mathrm{\nabla }f+f\mathrm{\nabla }g$$

   类似地，我们可以给出和法则$\mathrm{\nabla }(f+g)=\mathrm{\nabla }f+\mathrm{\nabla }g$与差法则$\mathrm{\nabla }(f-g)=\mathrm{\nabla }f-\mathrm{\nabla }g$。

2. （链式法则的应用其二）设$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是一个线性变换，由于$T$在每一点$x$处都连续可微且$T^{\prime }(x)=T$（见习题17.4.1）。因此，对于任意的可微函数$f:E\to {\mathbb{R}}^n$，$Tf:E\to {\mathbb{R}}^m$也是可微的，并且可以通过链式法则给出$(Tf{)}^{\prime }(x)=T(f^{\prime }(x_0))$。这事实上相当于一元微积分里面法则$(cf{)}^{\prime }=c(f^{\prime })$（其中$c$是常数）。

   ​ 此外还有一个链式法则的特殊情形，设$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是一个可微函数，并且对于每一个$j=1,...,n$，$x_j:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$都是可微函数。那么有：

   $$\frac{\text{d}}{\text{d}t}f(x_1(t),...,x_n(t))=\sum _{j=1}^n{x}_j^{\prime }(t)\frac{\text{part}}{\text{part}t}f(x_1(t),...,x_n(t))$$

   （注：尝试使用链式法则对函数$f\circ \pi$求导，其中$\pi (t):=(x_1(t),...,x_n(t))$，从而我们有$D\pi =(x_i^{\prime }{)}_{1\le i\le n}^T$与$Df(x_0)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_1}(x_0{)}^T,{\displaystyle \frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_2}(x_0{)}^T,\cdots ,{\displaystyle \frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_n}(x_0{)}^T}}}\end{array}\right)$，做矩阵乘法即可得到上面的结论）

命题 ​

1. （17.4.1 多元微积分链式法则）设$E$是${\mathbb{R}}^n$的子集，$F$是${\mathbb{R}}^m$的子集。设$f:E\to F$是一个函数，$g:F\to {\mathbb{R}}^p$是另一个函数，并设$x_0$是$E$的内点。如果$f$在$x_0$处可微，并且$f(x_0)$是$F$的内点，同时$g$在$f(x_0)$处也是可微的，那么$g\circ f:E\to {\mathbb{R}}^p$在$x_0$处可微，而且还有等式：$$(g\circ f{)}^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$$（注：应当将这个同一元微积分中的链式法则（定理10.1.15）做对比；作为链式法则和引理17.1.16的一个推论，我们有$D(g\circ f)(x_0)=Dg(f(x_0))Df(x_0)$，也就是说，我们可以用矩阵和矩阵乘法来描述链式法则）

课后习题 ​

17.4.1 设$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是一个线性变换，证明：$T$在任意点$x$处都是连续可微的，并且有$T^{\prime }(x)=T$。思考：$DT$是什么（连续可微的定义见定义17.5.1） ​

显然根据可微的定义与线性变换的性质我们有：

$$\underset{y\to x}{lim}\frac{\Vert Ty-Tx-T(y-x)\Vert }{\Vert y-x\Vert }=\underset{y\to x}{lim}\frac{0}{\Vert y-x\Vert }=0$$

因此我们有$T$在$x$处可微且全导数$T^{\prime }(x)=T$。从而对任意的$1\le i\le n$有对变量$x_i$的偏导为${\displaystyle \frac{\text{part}T}{\text{part}{x}_i}(x)=T^{\prime }(x)e_i=T{e}_i}$是一个常值函数（因此显然是连续的），对应地导数矩阵有：

$$DT(x)=({(\frac{\text{part}T}{\text{part}{x}_1}(x))}^T,...,{(\frac{\text{part}T}{\text{part}{x}_n}(x))}^T)=((T{e}_1{)}^T,...,(T{e}_n{)}^T)$$

17.4.2 设$E$是${\mathbb{R}}^n$的子集。证明：如果函数$f:E\to {\mathbb{R}}^m$在$E$的一个内点$x_0$处可微，那么$f$也在$x_0$处连续（提示：利用习题17.1.4） ​

设$f$在$x_0$处的全导数为$L$。

考虑任意的$\epsilon >0$，由于$f$在$x_0$处可微，因此存在$\sigma >0$使得对任意的$x\in E$满足$0<\Vert x-x_0\Vert <\sigma$都有：

$$\Vert [f(x)-f(x_0)]-L(x-x_0)\Vert <\epsilon \Vert x-x_0\Vert$$

而根据习题17.1.4的结论，我们知道存在一个整数$M$使得$\Vert Ly\Vert \le M\Vert y\Vert$对所有的$y\in {\mathbb{R}}^n$都成立，因此根据度量的三角不等式我们有：

$$\Vert f(x)-f(x_0)\Vert \le \Vert [f(x)-f(x_0)]-L(x-x_0)\Vert +\Vert L(x-x_0)\Vert <(\epsilon +M)\Vert x-x_0\Vert$$

此时我们定义${\displaystyle \delta :=min(\sigma ,\frac{\epsilon }{\epsilon +M})}$，此时我们得到：

对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in E$满足$0<\Vert x-x_0\Vert <\delta$有：

$$\Vert f(x)-f(x_0)\Vert <(\epsilon +M)\Vert x-x_0\Vert \le \frac{\epsilon }{\epsilon +M}(\epsilon +M)=\epsilon$$

即$f$在$x_0$处连续。

综上，结论得证。

17.4.3 证明定理17.4.1（提示：回顾一元微积分中链式法则（定理10.1.15）证明的全过程。一个可能有效的方式是利用由序列描述的极限定义（参见命题14.1.5(b)），同时利用习题17.1.4） ​

由于$f$在$x_0$处可微，因此有：

$$\underset{x\to x_0;x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}}{lim}\frac{\Vert f(x)-(f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0))\Vert }{\Vert x-x_0\Vert }=0$$

也即对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <\delta$都有：

$$$$

同理，由于$g$在$f(x_0)$处可微，因此有：

$$\underset{y\to f(x_0);y\in F\mathtt{\text{}}\{f(x_0)\}}{lim}\frac{\Vert g(y)-[g\circ f(x_0)+g^{\prime }(f(x_0))(y-f(x_0))]\Vert }{\Vert y-f(x_0)\Vert }=0$$

也即对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in F\mathtt{\text{}}\{f(x_0)\}$满足$\Vert y-f(x_0)\Vert <\delta$都有$\Vert [g(y)-g\circ f(x_0)]-g^{\prime }(f(x_0))(y-f(x_0))\Vert <\epsilon \Vert y-f(x_0)\Vert$。

由于$f^{\prime }(x_0)$与$g^{\prime }(f(x_0))$都是线性变换，因此根据习题17.1.4分别存在正实数$M,N$满足：

• $\mathrm{\forall }x\in {\mathbb{R}}^n$，$\Vert f^{\prime }(x_0)x\Vert \le M\Vert x\Vert$。
• $\mathrm{\forall }y\in {\mathbb{R}}^m$，$\Vert g^{\prime }(f(x_0))y\Vert \le N\Vert y\Vert$。

于是对任意的$\epsilon >0$，我们首先寻找三个大于零的常数：

• ${\delta }_1$：

根据$f$可微的结论，我们知道存在${\delta }_1>0$使得对任意的$x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <{\delta }_1$有：

$$\Vert [f(x)-f(x_0)]-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\Vert <\frac{\epsilon }{1+N+M}\Vert x-x_0\Vert$$

• ${\delta }_2$：

根据$f$可微的结论，我们知道存在${\delta }_2>0$使得对任意的$x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <{\delta }_2$有：

$$\Vert [f(x)-f(x_0)]-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\Vert <\Vert x-x_0\Vert$$

• ${\delta }_3$：

根据$g$可微的结论，我们知道存在$\sigma >0$使得对任意的$y\in F\mathtt{\text{}}\{f(x_0)\}$满足$\Vert y-f(x_0)\Vert <\sigma$有：

$$\Vert [g(y)-g\circ f(x_0)]-g^{\prime }(f(x_0))(y-f(x_0))\Vert <\frac{\epsilon }{1+N+M}\Vert y-f(x_0)\Vert$$

而习题17.4.2可知$f$在$x_0$连续的，因此存在${\delta }_3>0$对任意$x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <{\delta }_3$都有$\Vert f(x)-f(x_0)\Vert <\sigma$，从而上面的结论可以引申为：

$$\Vert [g\circ f(x)-g\circ f(x_0)]-g^{\prime }(f(x_0))(f(x)-f(x_0))\Vert <\frac{\epsilon }{1+N+M}\Vert f(x)-f(x_0)\Vert$$

然后我们取$\delta :=min\{{\delta }_1,{\delta }_2,{\delta }_3\}$，于是对任意$x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <\delta$，通过多次应用三角不等式我们可以计算有：

$$\begin{array}{rl}& \Vert [g\circ f(x)-g\circ f(x_0)]-g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\Vert \\ \le & \Vert [g\circ f(x)-g\circ f(x_0)]-g^{\prime }(f(x_0))[f(x)-f(x_0)]\Vert +\Vert [g^{\prime }(f(x_0))[f(x)-f(x_0)]-g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\Vert \\ <& \frac{\epsilon }{1+N+M}\Vert f(x)-f(x_0)\Vert +N\Vert [f(x)-f(x_0)]-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\Vert \\ <& \frac{\epsilon }{1+N+M}(\Vert [f(x)-f(x_0)]-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\Vert +\Vert f^{\prime }(x_0)(x-x_0)\Vert )+\frac{\epsilon N}{1+N+M}\Vert x-x_0\Vert \\ <& \frac{\epsilon }{1+N+M}(\Vert x-x_0\Vert +M\Vert x-x_0\Vert )+\frac{\epsilon N}{1+N+M}\Vert x-x_0\Vert \\ =& \frac{\epsilon (1+N+M)}{1+N+M}\Vert x-x_0\Vert =\epsilon \Vert x-x_0\Vert \end{array}$$

综上即有：

对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <\delta$有：

$$\frac{\Vert g\circ f(x)-(g\circ f(x_0)+g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)(x-x_0))\Vert }{\Vert x-x_0\Vert }<\epsilon$$

也即有${\displaystyle \underset{x\to x_0;x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}}{lim}\frac{\Vert g\circ f(x)-(g\circ f(x_0)+g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)(x-x_0))\Vert }{\Vert x-x_0\Vert }=0}$，再考虑到由习题17.1.2$g^{\prime }(f(x_0))$与$f^{\prime }(x_0)$的复合$g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$也是一个线性变换，于是根据全可微的定义我们有$g\circ f$是在$x_0$处可微的，并且导数为$g^{\prime }(f(x_0))f^{\prime }(x_0)$。

17.4.4 叙述并证明多元函数（即形如$f:E\to \mathbb{R}$的函数，其中$E$是${\mathbb{R}}^n$的子集）的商法则（即叙述一个法则，使得该法则能够给出一个有关商函数$f/g$的公式）。将你给出的答案同定理10.1.13(h)对比，注意务必要明晰你的假设前提都是什么 ​

我们可以给出下面的商法则：设$E$是${\mathbb{R}}^n$的子集，$x_0$是$E$的内点，并设$f:E\to \mathbb{R}$与$g:E\to \mathbb{R}$是函数。若有$f,g$均在$x_0$处可微且$g(x_0)\ne 0$，则$f/g$也是在$x_0$处可微的，并且有：

$$\mathrm{\nabla }(f/g)(x_0)=\frac{g(x_0)\mathrm{\nabla }f(x_0)-f(x_0)\mathrm{\nabla }g(x_0)}{g(x_0{)}^2}$$

下面我们证明这个结论。

---

类似本节摘录1中的内容，我们定义函数$h:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^2$为$h(x):=(f(x),g(x))$与$k:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$为$k(a,b):=a/b$，然后计算导数矩阵有：

$$Dh(x_0)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }f(x_0)\\ \mathrm{\nabla }g(x_0)\end{array}\right)Dk(a,b)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{b},-\frac{a}{b^2}}\end{array}\right)$$

再注意到$k\circ h=f/g$，于是根据链式法则有：

$$D(f/g)(x_0)=Dk(f(x_0),g(x_0))Dh(x_0)=\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{g(x_0)},-\frac{f(x_0)}{g(x_0{)}^2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\mathrm{\nabla }f(x_0)\\ \mathrm{\nabla }g(x_0)\end{array}\right)=\frac{g(x_0)\mathrm{\nabla }f(x_0)-f(x_0)\mathrm{\nabla }g(x_0)}{g(x_0{)}^2}$$

于是结论得证。

17.4.5 设$\overrightarrow{x}:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^3$是一个可微函数，并设$r:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是函数$r(t):=\Vert \overrightarrow{x}(t)\Vert$，其中$\Vert \overrightarrow{x}\Vert$表示$\overrightarrow{x}$在通常的$l^2$度量下的长度。设$t_0$是一个实数，证明：如果$r(t_0)\ne 0$，那么$r$在$t_0$就是可微的，并且有 ​

（提示：利用定理17.4.1） ​

我们设$g:{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$为$g(x_i{)}_{1\le i\le 3}:=\Vert (x_i{)}_{1\le i\le 3}\Vert =\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$，于是显然可以求得：

$$\mathrm{\forall }1\le i\le 3,\frac{\text{part}g}{\text{part}{x}_i}(x_i{)}_{1\le i\le 3}=\frac{x_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}$$

并且显然有只要$x=(x_i{)}_{1\le i\le 3}\ne 0$就有${\displaystyle \frac{\text{part}g}{\text{part}{x}_i}}$在$x$处连续，因此根据命题17.3.8我们有$f$在$x$处可微且对任意的$v=(v_i{)}_{1\le i\le 3}$有：

$$f^{\prime }(x)(v)=\sum _{i=1}^3\frac{x_i{v}_i}{\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}}=\frac{xv}{\Vert x\Vert }$$

再注意到$r=g\circ \overrightarrow{x}$，从而我们有：

$$r^{\prime }(t_0)=g^{\prime }(\overrightarrow{x}(t_0))x^{\prime }(t_0)=\frac{\overrightarrow{x}(t_0)x^{\prime }(t_0)}{\Vert \overrightarrow{x}(t_0)\Vert }=\frac{{\overrightarrow{x}}^{\prime }(t_0)\overrightarrow{x}(t_0)}{r(t_0)}$$

于是结论得证。

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实分析 10.1 基本定义

实分析 14.1 函数的极限值

实分析 17.1 线性变换

实分析 17.5 二阶导数和克莱尔定理