14.1 函数的极限值

定义

（14.1.1 函数的极限值）设 $(X, d_{X})$ 和 $(Y, d_{Y})$ 是两个度量空间， $E$ 是 $X$ 的子集，并设 $f : X \to Y$ 是一个函数。设 $x_{0} \in X$ 是 $E$ 的一个附着点且 $L \in Y$ 。若对于任意的 $ε > 0$ ，都存在一个 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d_{Y} (f (x), L) < ε$ ，那么我们称当 $x$ 沿着 $E$ 收敛于 $x_{0}$ 时 $f (x)$ 沿着 $Y$ 收敛于 $L$ ，并记作 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ 。
（注：在部分教材中这个定义会排除 $x = x_{0}$ 的情形，于是这时要将上面的定义改为 $0 < d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，然后对应的记号改为 $lim_{x \to x_{0}; x \in E \ {x_{0}}} f (x) = L$ ；此外，在定义13.1.1我们定义了连续性的概念，结合此处函数极限值的定义我们不难发现函数 $f : X \to Y$ 在 $x_{0} \in X$ 处连续当且仅当 $lim_{x \to x_{0}; x \in X} f (x) = f (x_{0})$ ，这和我们在第9章中的连续函数定义统一（[第9章]((....\第9章\md\实分析 9.4 连续函数.md))中先定义的函数极限值再据此给出连续性定义）；当清楚地知道 $x$ 在空间 $X$ 中变动时，我们可以忽略 $x \in X$ ，并将 $lim_{x \to x_{0}; x \in X} f (x) = L$ 简写为 $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ ）

命题

（14.1.5）设 $(X, d_{X})$ 和 $(Y, d_{Y})$ 是两个度量空间， $E$ 是 $X$ 的子集，并设 $f : X \to Y$ 是一个函数。设 $x_{0} \in X$ 是 $X$ 的一个附着点且 $L \in Y$ 。那么下面四个命题在逻辑上是等价的：
- $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ 。
- 对于 $E$ 中任意一个依度量 $d_{X}$ 收敛于 $x_{0}$ 的序列 $(x^{(n)})_{n = 1}^{\infty}$ ，序列 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 都依度量 $d_{Y}$ 收敛于 $L$ 。
- 对于任意一个包含 $L$ 的开集 $V \subset Y$ ，都存在一个包含 $x_{0}$ 的开集 $U \subset X$ 使得 $f (U \cap E) \subseteq V$ 。
- 如果把函数 $g : E \cup {x_{0}} \to Y$ 定义为 $g (x_{0}) := L$ ，且当 $x \in E \ {x_{0}}$ 时 $g (x) := f (x)$ ，那么 $g$ 在 $x_{0}$ 处是连续的；此外，如果 $x_{0} \in E$ ，那么 $f (x_{0}) = L$ 。
（注：观察命题14.1.5(b)与命题12.1.20可以很容易得到：当 $x$ 收敛于 $x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 最多只能收敛于一个极限 $L$ ，这样就保证了函数极限值的唯一性；另一方面，为了保证函数极限值这个概念是有用的， $x_{0}$ 时 $E$ 的附着点是必要的。如果 $x_{0}$ 不是 $E$ 的附着点，那么 $x_{0}$ 作为 $E$ 的外点当 $x$ 沿着 $E$ 收敛于 $x_{0}$ 时 $f (x)$ 收敛于 $L$ 的概念本身是虚空的（存在 $ε > 0$ 使得不存在 $x \in E$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < ε$ ）；如同之前在12.1节中提到的那样，严谨来说函数极限值的定义记号应该写成 $d_{Y} - lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ 以表明它是关于具体的度量 $d_{Y}$ 的，但是一般问题中通常都可以明确 $d_{Y}$ 从而省略）

课后习题

14.1.1 设 $(X, d_{X})$ 和 $(Y, d_{Y})$ 都是度量空间， $E$ 是 $X$ 的子集， $f : E \to Y$ 是一个函数，并设 $x_{0}$ 是 $E$ 中的元素。证明：极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$ 存在，当且仅当极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E \ {x_{0}}} f (x)$ 存在且等于 $f (x_{0})$ 。另外证明：如果极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$ 存在，那么它一定等于 $f (x_{0})$

我们需要调换下证明的顺序，先证明后面的命题再证明前面的。
证明：如果极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$ 存在，那么它一定等于 $f (x_{0})$ 。
不妨记有 $L := lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$ 。根据定义14.1.1我们知道对任意的 $ε > 0$ ，都存在一个 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d_{Y} (f (x), L) < ε$ 。然后由于 $x_{0} \in E$ 且有 $d_{X} (x_{0}, x_{0}) = 0 < δ$ ，从而我们可以总结得到对任意 $ε > 0$ 都有：
$d_{Y} (f (x_{0}), L) < ε$
于是 $d_{Y} (f (x_{0}), L)$ 不可能是任意大于 $0$ 的实数，考虑到度量的非负性于是只能有 $d_{Y} (f (x_{0}), L) = 0$ ，然后根据度量空间满足的公理我们知道这表明 $f (x_{0}) = L$ 。
综上，于是只能有极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$ 存在则必然等于 $f (x_{0})$ 。
证明：极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$ 存在，当且仅当极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E \ {x_{0}}} f (x)$ 存在且等于 $f (x_{0})$ 。
分别证明充分必要性。
先考虑若有极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$ 存在，则根据定义14.1.1与我们在上面证明了的结论，于是对任意的 $ε > 0$ ，都存在一个 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d_{Y} (f (x), f (x_{0})) < ε$ 。从而对任意的 $ε > 0$ ， $δ$ 都是使得只要 $x \in E \ {x_{0}}$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ 就有 $d_{Y} (f (x), f (x_{0})) < ε$ 。从而根据定义14.1.1即有 $lim_{x \to x_{0}; x \in E \ {x_{0}}} f (x) = f (x_{0})$ 。
另一方面，若有极限 $lim_{x \to x_{0}; x \in E \ {x_{0}}} f (x)$ 存在且等于 $f (x_{0})$ 。则根据定义14.1.1对任意的 $ε > 0$ ，存在 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E \ {x_{0}}$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ 就有 $d_{Y} (f (x), f (x_{0})) < ε$ 。特别地，对给定的 $ε$ 与 $δ$ ，由于 $x_{0} \in E$ 与 $x_{0}$ 满足：
$\begin{matrix} d_{X} (x_{0}, x_{0}) = 0 < δ \\ d_{Y} (f (x_{0}), f (x_{0})) = 0 < ε \end{matrix}$
于是上面的结论可以拓展到对任意 $x \in E$ 都成立，综合定义14.1.1即有 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = f (x_{0})$ （那么自然极限值也是存在的）。
综上，于是结论得证。

14.1.2 证明命题14.1.5（提示：回顾定理13.1.4的证明）

我们只需要证明这四个命题可以推导彼此即可，于是即证明：
(a)可以推知(b)：
即证明：若有 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ ，则有对于 $E$ 中任意一个依度量 $d_{X}$ 收敛于 $x_{0}$ 的序列 $(x^{(n)})_{n = 1}^{\infty}$ ，序列 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 都依度量 $d_{Y}$ 收敛于 $L$ 。
根据定义14.1.1即有对任意的 $ε > 0$ ，都存在一个 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d_{Y} (f (x), L) < ε$ 。于是对任意 $E$ 中依度量 $d_{X}$ 收敛于 $x_{0}$ 的序列 $(x^{(n)})_{n = 1}^{\infty}$ ，考虑任意 $ε > 0$ 。根据函数极限的结论我们知道存在对应的 $δ > 0$ 。然后对 $δ$ 根据序列收敛的定义即有存在 $N \geq 1$ 使得对任意 $n \geq N$ 都有：
$d_{X} (x^{(n)}, x_{0}) < δ ⟹ d_{Y} (f (x^{(n)}), L) < ε$
综合即有：对任意的 $ε > 0$ ，存在 $N \geq 1$ 使得对任意 $n \geq N$ 都有 $d_{Y} (f (x^{(n)}), L) < ε$ 。从而即有 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 都依度量 $d_{Y}$ 收敛于 $L$ ，于是结论得证。
(b)可以推知(c)：
即证明：若有对于 $E$ 中任意一个依度量 $d_{X}$ 收敛于 $x_{0}$ 的序列 $(x^{(n)})_{n = 1}^{\infty}$ ，序列 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 都依度量 $d_{Y}$ 收敛于 $L$ ，则有对于任意一个包含 $L$ 的开集 $V \subset Y$ ，都存在一个包含 $x_{0}$ 的开集 $U \subset X$ 使得 $f (U \cap E) \subseteq V$ 。
不妨使用反证，我们假设存在一个包含 $L$ 的开集 $V \subset V$ 使得对任意包含 $x_{0}$ 的开集 $U \subset X$ 都有 $f (U \cap E)$ 不包含于 $V$ ，换言之即存在 $y \in f (U \cap E)$ 使得 $y \notin V$ ，也即 $f (U \cap E) \ V$ 是非空的。
于是对任意的整数 $n \geq 1$ ，我们考虑度量球 $B (x_{0}, \frac{1}{n})$ ，根据命题12.2.15(c)我们知道它是开的，并且根据度量球的定义我们知道它包含 $x_{0}$ 。于是根据上面的反证假设应该有 $f (B (x_{0}, \frac{1}{n}) \cap E) \ V$ 是非空的，也就是说存在 $x \in B (x_{0}, \frac{1}{n}) \cap E$ 满足 $f (x) \notin V$ 。于是使用选择公理，我们可以为每一个整数 $n \geq 1$ 指定一个 $x^{(n)}$ 满足：
$x^{(n)} \in B (x_{0}, \frac{1}{n}) \cap E \land f (x^{(n)}) \notin V ⟹ d_{X} (x^{(n)}, x_{0}) < \frac{1}{n} \land x^{(n)} \in E \land f (x^{(n)}) \notin V$
于是 $(x^{(n)})_{n = 1}^{\infty}$ 显然是 $E$ 中依度量 $d_{X}$ 收敛于 $x_{0}$ 的序列，但是考虑序列 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 。由于 $V$ 是开集且 $L \in V$ ，因此根据命题12.2.15(a)存在 $r > 0$ 使得 $B (L, r) \subseteq V$ ；又因为对任意 $n \geq 1$ 都有 $f (x^{(n)}) \notin V ⟹ f (x^{(n)}) \notin B (L, r)$ ，于是即对任意 $n \geq 1$ 都有 $d_{Y} (f (x^{(n)}), L) \geq r$ 。此时根据比较原理，我们有：
$lim_{n \to \infty} d_{Y} (f (x^{(n)}), L) \geq r > 0$
于是根据定义12.1.14我们有 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 不可能依度量 $d_{Y}$ 收敛于 $L$ ，这和条件“对于 $E$ 中任意一个依度量 $d_{X}$ 收敛于 $x_{0}$ 的序列 $(x^{(n)})_{n = 1}^{\infty}$ ，序列 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 都依度量 $d_{Y}$ 收敛于 $L$ ”矛盾，于是反证假设不成立，对于任意一个包含 $L$ 的开集 $V \subset Y$ 都应该存在一个包含 $x_{0}$ 的开集 $U \subset X$ 使得 $f (U \cap E) \subseteq V$ 。
(c)可以推知(a)：
即证明：若有对于任意包含 $L$ 的开集 $V \subset Y$ ，都存在包含 $x_{0}$ 的开集 $U \subset X$ 使得 $f (U \cap E) \subseteq V$ ，则有 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ 。
对任意的 $ε > 0$ ，我们考虑 $V := B_{(Y, d_{Y})} (L, ε)$ ，根据结论(c)可以得到存在一个包含 $x_{0}$ 的开集 $U \subset X$ 使得 $f (U \cap E) \subseteq V$ ，即对任意 $x \in U \cap E$ 都有：
$f (x) \in V ⟹ d_{Y} (f (x), L) < ε$
然后由于 $x_{0} \in U$ ，于是根据命题12.2.15(a)存在 $δ > 0$ 使得 $B_{(X, d_{X})} (x_{0}, δ) \subseteq U$ ，于是上面的结论对任意 $x \in B (x_{0}, δ) \cap E$ 也成立，考虑到度量球的定义于是可以总结得到：
对任意的 $ε > 0$ ，都存在一个 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d_{Y} (f (x), L) < ε$ 。
根据定义14.1.1即有 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ ，于是结论得证。
然后我们单独证明(a)等价于(d)：
注意到根据定义13.1.1， $g$ 在 $x_{0}$ 处连续当且仅当对任意的 $ε > 0$ ，存在一个 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E \cup {x_{0}}$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d_{Y} (g (x), L) < ε$ 。特别地，对 $x = x_{0}$ 的情况根据 $g$ 定义有 $d_{Y} (g (x_{0}), L) = 0 < ε$ 总是满足条件的，于是上面的结论等价于：对任意的 $ε > 0$ ，存在一个 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E \ {x_{0}}$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d_{Y} (g (x), L) < ε$ 。再次结合 $g$ 的定义，这个结论等价于：对任意的 $ε > 0$ ，存在一个 $δ > 0$ 使得只要 $x \in E \ {x_{0}}$ 满足 $d_{X} (x, x_{0}) < δ$ ，就有 $d_{Y} (f (x), L) < ε$ 。结合定义14.1.1这恰好是 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ 的定义。于是经过上面的推论我们得到了 $g$ 在 $x_{0}$ 处连续当且仅当 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ 。
此外的结论已经在习题3.1.1有所论述，不再讨论。
综上，于是结论得证。

14.1.3 根据命题14.1.5(c)，定义从一个拓扑空间 $(X, F_{X})$ 到另一个拓扑空间 $(Y, F_{Y})$ 的函数 $f : X \to Y$ 的极限值的概念。然后证明：命题14.1.5(c)和命题14.1.5(d)是等价的。如果 $Y$ 是一个豪斯道夫拓扑空间（参考习题13.5.4的定义），证明：注14.1.6的类比成立。如果 $Y$ 不是豪斯道夫空间，那么上述结论还成立吗

注14.1.6的内容：
观察命题14.1.5(b)与命题12.1.20可知，当 $x$ 收敛于 $x_{0}$ 时，函数 $f (x)$ 最多只能收敛于一个极限 $L$ 。换言之，如果极限
$lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$
存在，那么它只能取一个值。
我们先叙述在拓扑空间下函数极限值的概念：
设 $(X, F_{X})$ 与 $(Y, F_{Y})$ 都是拓扑空间， $E$ 是 $X$ 的子集，并设 $f : X \to Y$ 是一个函数。设 $x_{0} \in X$ 是 $E$ 的一个附着点且 $L \in Y$ 。如果对于任意 $L$ 的邻域 $V$ 都存在一个 $x_{0}$ 的邻域 $U$ 使得 $f (U \cap E) \subseteq V$ ，那么我们称当 $x$ 沿着 $E$ 收敛于 $x_{0}$ 时 $f (x)$ 沿着 $Y$ 收敛于 $L$ ，并记作 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ 。
然后证明在拓扑空间中的函数极限值的定义下，命题14.1.5(c)和命题14.1.5(d)是等价的。
首先证明结论(c)可以推导出结论(d)：对任意 $V$ 是 $Y$ 中 $L$ 的邻域（也即 $g (x_{0})$ 的邻域），根据结论(c)我们知道存在 $x_{0}$ 的一个邻域 $U$ 使得 $f (U \cap E) \subseteq V$ 。然后由 $(X, F_{X})$ 导出的 $E \cup {x_{0}}$ 上的拓扑 $F_{X} |_{E \cup {x_{0}}}$ ，对任意 $x \in U \cap (E \cup {x_{0}})$ ，我们有：
${\begin{cases} g (x_{0}) = L ⟹ g (x_{0}) \in V & if x = x_{0} \\ g (x) = f (x) \overset{f (U \cap E) \subseteq V}{\Rightarrow} g (x) \in V & if x \in E \ {x_{0}} \end{cases}$
于是对任意 $x \in U \cap (E \cup {x_{0}})$ ，我们都有 $g (x) \in V$ 。考虑记有 $W := U \cap (E \cup {x_{0}})$ ，注意到 $W$ 还是 $x$ 的邻域（关于导出拓扑 $F_{X} |_{E \cup {x_{0}}}$ ），于是总结即有：
对任意 $V$ 是 $Y$ 中 $g (x_{0})$ 的邻域，存在 $W$ 是 $E \cup {x_{0}}$ 中 $x_{0}$ 的邻域使得 $g (W) \subseteq V$ 。
根据定义13.5.8即有 $g$ 在 $x_{0}$ 处连续。
然后证明结论(d)可以推导出结论(c)：对任意 $V$ 是 $Y$ 中 $L$ 的邻域（也即 $g (x_{0})$ 的邻域），由于 $g$ 在 $x_{0}$ 处是连续的，于是根据定义13.5.8存在一个 $x_{0}$ 的邻域 $U$ 使得 $f (U) \subseteq V$ （这个邻域自然是关于导出拓扑 $F_{X} |_{E \cup {x_{0}}}$ 的）。根据导出拓扑的定义，存在一个 $W \in F_{X}$ 使得 $U = W \cap (E \cup {x_{0}})$ 。从而即有：对任意 $x$ 满足 $x \in W$ 且 $x \in E \cup {x_{0}}$ 都有 $f (x) \in V$ 。特别地，这个结论也对任意 $x$ 满足 $x \in W$ 且 $x \in E$ 成立，于是总结即有：
对任意 $V$ 是 $Y$ 中 $g (x_{0})$ 的邻域，存在 $W$ 是 $X$ 中 $x_{0}$ 的邻域使得 $f (W \cap E) \subseteq V$ 。
于是根据我们上面叙述的定义即有 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = L$ 。
关于那个额外的结论，需要 $Y$ 是一个豪斯道夫空间才成立。
证明：如果 $Y$ 是一个豪斯道夫拓扑空间，注14.1.6的类比成立。
如果 $Y$ 是一个豪斯道夫拓扑空间，不妨使用反证法，我们假设存在 $L_{0}$ ， $L_{1}$ 满足我们叙述的定义且 $L_{0} \neq L_{1}$ 。则根据我们叙述的定义，对任意 $L_{0}$ 的邻域 $V$ 都存在一个 $x_{0}$ 的邻域 $U$ 使得 $f (U \cap E) \subseteq V$ ，对 $L_{1}$ 也有相同的结论。另外，由于 $Y$ 是一个豪斯道夫空间且 $L_{0} \neq L_{1}$ ，于是存在 $L_{0}$ 的邻域 $W_{0}$ 和 $L_{1}$ 的邻域 $W_{1}$ 使得 $W_{0} \cap W_{1} = \emptyset$ 。
然后对 $W_{0}$ 和 $W_{1}$ 应用函数极限值的结论，分别存在 $x_{0}$ 的两个邻域 $U_{0}$ ， $U_{1}$ 使得 $f (U_{0} \cap E) \subseteq W_{0}$ 与 $f (U_{1} \cap E) \subseteq W_{1}$ 。特别地，由于拓扑空间的有限个开集的交集也是开的我们可以得到 $U_{0} \cap U_{1}$ 也是 $x_{0}$ 的邻域，然后由于 $x_{0}$ 是 $E$ 的附着点我们知道 $U_{0} \cap U_{1}$ 与 $E$ 的交集也是非空的（定义13.5.6）。于是讨论任意 $x \in U_{0} \cap U_{1} \cap E$ 我们有：
${\begin{cases} x \in U_{0} \land x \in E ⟹ f (x) \in W_{0} \\ x \in U_{1} \land x \in E ⟹ f (x) \in W_{1} \end{cases}$
但是由于 $W_{0}$ 与 $W_{1}$ 不相交，因此不可能存在 $f (x)$ 满足同时属于 $W_{0}$ 和 $W_{1}$ ，这导出了矛盾。
举例：如果 $Y$ 不是一个豪斯道夫拓扑空间，那么注14.1.6的类比就不成立。
我们考虑一个最简单的例子，定义从 $R$ 到 $R$ 的函数 $f (x) := x$ 。注意其中定义域带有标准度量生成的拓扑，而值域带有平凡拓扑（习题13.5.1中提到的定义），显然带有平凡拓扑的实直线不是一个豪斯道夫拓扑空间。然后考虑 $x$ 沿着 $R$ 收敛于 $0$ 时 $f (x)$ 沿着 $R$ 收敛的值。注意到对任意的实数 $y \in R$ 都有：
对任意 $y$ 的邻域 $V$ （由于值域带有平凡拓扑，因此 $V$ 只能是 $R$ ），存在 $0$ 的邻域 $(- 1, 1)$ 使得 $f ((- 1, 1) \cap R) = (- 1, 1) \subseteq R$ 。
于是可以看到，根据我们在上面叙述的定义即有 $lim_{x \to 0; x \in R} f (x) = x$ ，这显然是不满足注14.1.6的类比的要求的。

14.1.4 回顾习题13.5.5可知，广义实直线 $R^{}$ 具有一个标准拓扑（序拓扑）。我们把自然数 $N$ 看作这个拓扑空间的子空间，并把 $+ \infty$ 看作 $N$ 在 $R^{}$ 中的附着点。设 $(a_{n})_{n = 0}^{\infty}$ 是在拓扑空间 $(Y, F_{Y})$ 中取值的序列，并设 $L \in Y$ 。证明： $lim_{n \to + \infty; n \in N} a_{n} = L$ （在习题14.1.3的意义下）当且仅当 $lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ （在定义13.5.4的意义下）。这表明序列的极限值的概念和函数的极限值的概念是一致的（byd选学章节一直引用是吧）

我们需要证明一个辅助结论：
结论：对任意的实数 $r$ ，区间 $(r, + \infty]$ 都是序拓扑下的开集。
证明：
考虑任意的 $x \in (r, + \infty]$ ，我们有 $x > r$ 。于是即有：
$x \in {y \in R^{*} : r < y} \land {y \in R^{*} : r < y} \subseteq V$
于是根据序拓扑的定义即有 $(r, + \infty]$ 是序拓扑下的开集。
分别证明其充分必要性：
先考虑若有 $lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ 成立，则对任意一个 $L$ 的邻域 $V$ ，都存在 $N \geq m$ 使得对任意 $n \geq N$ 均有 $a_{n} \in V$ 。注意到 $n \geq N ⟺ n \in N \cap (N - 1, + \infty]$ ，然后如果将 $n \mapsto a_{n}$ 的映射关系视为一个函数，那么有：
$n \mapsto a_{n} (N \cap (N - 1, + \infty]) = {a_{n} : n \in N \cap (N - 1, + \infty]} = {a_{n} : n \geq N} \subseteq V$
于是总结可以得到：对任意一个 $L$ 的邻域 $V$ ，都存在 $+ \infty$ 的邻域 $(N - 1, + \infty]$ 使得 $n \mapsto a_{n} (N \cap (N - 1, + \infty]) \subseteq V$ 。从而根据习题14.1.3中叙述的函数极限值定义我们有 $lim_{n \to + \infty; n \in N} a_{n} = L$ 。
反过来，若有 $lim_{n \to + \infty; n \in N} a_{n} = L$ ，则根据习题14.1.3的定义，对任意 $L$ 的邻域 $V$ 存在 $+ \infty$ 的一个邻域 $U$ 使得 $n \mapsto a_{n} (U \cap N) \subseteq V$ 。注意到 $U$ 是包含 $+ \infty$ 的开集，因此根据序拓扑的定义存在下面四种可能：
$+ \infty \in R^{*}$ 且 $R^{*} \subseteq U$ 。
存在 $a \in R^{*}$ 使得 $+ \infty \in {y \in R^{*} : a < y}$ 且 ${y \in R^{*} : a < y} \subseteq U$ 。
存在 $b \in R^{*}$ 使得 $+ \infty \in {y \in R^{*} : y < b}$ 且 ${y \in R^{*} : y < b} \subseteq U$ 。
存在 $a$ ， $b \in R^{*}$ 使得 $+ \infty \in {y \in R^{*} : a < y < b}$ 且 ${y \in R^{*} : a < y < b} \subseteq U$ 。
注意到 $+ \infty$ 的定义使得它不可能小于任何广义实数，因此第三，第四种情况都不可能。对第一种情况则此时必然有 $U = R^{*}$ ，于是可以得到 $U \cap N = N$ ，取 $N = 0$ 并应用函数极限值的结论即对任意自然数 $n \geq N$ 都有 $a_{n} \in V$ ；对第二种情况我们取 $N = ⌊ a ⌋ + 1$ ，于是应用函数极限值的结论对任意 $n \geq N$ 都有 $n > a ⟹ a_{n} \in V$ 。
于是综合即有：对任意一个 $L$ 的邻域 $V$ ，都存在 $N \geq m$ 使得对任意 $n \geq N$ 均有 $a_{n} \in V$ 。根据定义13.5.4即 $lim_{n \to \infty} a_{n} = L$ 。
综上，于是充分必要性得证。

14.1.5 设 $(X, d_{X})$ 、 $(Y, d_{Y})$ 和 $(Z, d_{Z})$ 都是度量空间， $x_{0} \in X$ ， $y_{0} \in Y$ ， $z_{0} \in Z$ ，并设 $f : X \to Y$ 和 $g : Y \to Z$ 都是函数，且 $E$ 是 $X$ 的子集。如果已知 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) = y_{0}$ 和 $lim_{y \to y_{0}; y \in f (E)} g (x) = z_{0}$ ，那么证明： $lim_{x \to x_{0}; x \in E} g \circ f (x) = z_{0}$ 成立

根据题设，考虑 $E$ 中任意一个依度量 $d_{X}$ 收敛于 $x_{0}$ 的序列 $(x^{(n)})_{n = 1}^{\infty}$ ，根据命题14.1.5可知序列 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 依度量 $d_{Y}$ 收敛于 $y_{0}$ 。注意到 $(f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 是 $f (E)$ 中的的序列，于是再次使用命题14.1.5可得序列 $(g (f (x^{(n)})))_{n = 1}^{\infty}$ 依度量 $d_{Z}$ 收敛于 $z_{0}$ ，即 $(g \circ f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 依度量 $d_{Z}$ 收敛于 $z_{0}$ 。从而即有：
对于 $E$ 中任意一个依度量 $d_{X}$ 收敛于 $x_{0}$ 的序列 $(x^{(n)})_{n = 1}^{\infty}$ ，序列 $(g \circ f (x^{(n)}))_{n = 1}^{\infty}$ 都依度量 $d_{Z}$ 收敛于 $z_{0}$ 。
然后根据命题14.1.5，这表明 $lim_{x \to x_{0}; x \in E} g \circ f (x) = z_{0}$ 。

14.1.6 当 $X$ 是一个度量空间，而不是 $R$ 的子集时，叙述并证明命题9.3.14中极限定律的类比（提示：利用推论13.2.3）

我们变叙述边证明我们给出的结论。
设 $(X, d)$ 是一个度量空间， $E$ 是 $X$ 的一个子集，并设 $f : X \to R$ 与 $g : X \to R$ 都是函数。设 $x_{0}$ 是 $E$ 的一个附着点且 $L$ ， $M \in R$ 。若在 $x$ 沿着 $E$ 收敛于 $x_{0}$ 时 $f (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $L$ 且 $g (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $M$ 。那么有：
$(f + g) (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $L + M$ ： $lim_{x \to x_{0}; x \in E} (f + g) (x) = lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) + lim_{x \to x_{0}; x \in E} g (x)$
$(f - g) (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $L - M$ ： $lim_{x \to x_{0}; x \in E} (f - g) (x) = lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) - lim_{x \to x_{0}; x \in E} g (x)$
$(max (f, g)) (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $max (L, M)$ ： $lim_{x \to x_{0}; x \in E} max (f, g) (x) = max (lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x), lim_{x \to x_{0}; x \in E} g (x))$
$(min (f, g)) (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $min (L, M)$ ： $lim_{x \to x_{0}; x \in E} min (f, g) (x) = min (lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x), lim_{x \to x_{0}; x \in E} g (x))$
$(f g) (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $L M$ ： $lim_{x \to x_{0}; x \in E} (f g) (x) = lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x) \cdot lim_{x \to x_{0}; x \in E} g (x)$
如有 $c$ 是一个实数，则 $(c f) (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $c L$ ： $lim_{x \to x_{0}; x \in E} (c f) (x) = c \cdot lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)$
如有对任意 $x \in E$ 都有 $g (x) \neq 0$ ，则 $(f / g) (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $L / M$ ： $lim_{x \to x_{0}; x \in E} (f / g) (x) = \frac{lim_{x \to x_{0}; x \in E} f (x)}{lim_{x \to x_{0}; x \in E} g (x)}$
然后我们给出第一条的的证明，其它的类似即可。
我们额外定义新的函数 $f^{'} : E \cup {x_{0}} \to Y$ 与 $g^{'} : E \cup {x_{0}} \to Y$ 为：
$f^{'} (x) := {\begin{cases} L & if x = x_{0} \\ f (x) & if x \in E \ {x_{0}} \end{cases} g^{'} (x) := {\begin{cases} M & if x = x_{0} \\ g (x) & if x \in E \ {x_{0}} \end{cases}$
于是根据命题14.1.5与题设我们知道 $f^{'}$ 和 $g^{'}$ 都是在 $x_{0}$ 处连续的，然后使用推论13.2.3，我们知道 $f^{'} + g^{'}$ 也是在 $x_{0}$ 处连续的。然后我们注意到函数 $f^{'} + g^{'}$ 满足下面的内容：
$(f^{'} + g^{'}) (x) = {\begin{cases} L + M & if x = x_{0} \\ f (x) + g (x) = (f + g) (x) & if x \in E \ {x_{0}} \end{cases}$
从而再次使用命题14.1.5，这表明有在 $x$ 沿着 $E$ 收敛于 $x_{0}$ 时 $(f + g) (x)$ 沿着 $R$ 收敛于 $L + M$ ，于是结论得证。