17.1 线性变换 ​

定义 ​

1. （17.1.1 行向量）设$n\ge 1$是一个整数，我们将${\mathbb{R}}^n$中的元素称为**$n$维行向量**。我们一般将一个$n$维行向量记为$x=(x_1,x_2,...,x_n)$，也可以记为$(x_i{)}_{1\le i\le n}$，其中每一个分量$x_1,x_2,...,x_n$都是实数。 如果$(x_i{)}_{1\le i\le n}$和$(y_i{)}_{1\le i\le n}$都是$n$维行向量，那么我们定义他们的向量和为：

   $$(x_i{)}_{1\le i\le n}+(y_i{)}_{1\le i\le n}:=(x_i+y_i{)}_{1\le i\le n}$$

   ​ 另外，如果$c\in \mathbb{R}$是任意一个标量，那么我们定义**标量积$c(x_i{)}_{1\le i\le n}$**为：

   $$c(x_i{)}_{1\le i\le n}:=(c{x}_i{)}_{1\le i\le n}$$

   ​ 如果两个向量的维数不同，那么我们不定义他们之间的加法运算（例如$(1,2,3)+(4,5)$是无定义的）。另外我们称${\mathbb{R}}^n$中的向量$(0,...,0)$为零向量，并记为$0$（严格来说应该记为$0_{{\mathbb{R}}^n}$，但是没有必要可以标注）。最后，我们将$(-1)x$简写为$-x$。

   （注：都是代数耳熟能详的内容了，本节差不多就是一个回顾）

2. （17.1.3 转置）如果$(x_i{)}_{1\le i\le n}$是一个$n$维行向量，那么我们定义它的转置$(x_i{)}_{1\le i\le n}^T$为：

   $$(x_i{)}_{1\le i\le n}^T=(x_1,x_2,...,x_n{)}^T:=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$

   并且我们将形如$(x_i{)}_{1\le i\le n}^T$的对象称为**$n$维列向量**。

   （注：这个定义纯粹是为了合并矩阵与向量的乘法）

3. （17.1.5 标准基行向量）我们将${\mathbb{R}}^n$中的$n$个特殊行向量$e_1,...,e_n$称为标准基行向量。其中对每一个$1\le j\le n$，$e_j$是第$j$个分量为$1$其余分量均为$0$的$n$维行向量。

   （注：因此${\mathbb{R}}^n$中的每一个向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$都可以表示为形如${\displaystyle \sum _{j=1}^n{x}_j{e}_j}$的标准基行向量的线性组合；类似地也可以定义标准基列向量；基向量可以有很多可能，但是这里不讨论这些，这里给出的是最简单的一种）

4. （17.1.6 线性变换）线性变换$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是一类满足特殊公理的从一个欧几里得空间${\mathbb{R}}^n$到另一个欧几里得空间$\mathbb{R}$函数，具体需要满足：

   1. （可加性）对于任意的$x,x^{\prime }\in {\mathbb{R}}^n$，都有$T(x+x^{\prime })=T(x)+T(x^{\prime })$。
   2. （齐次性）对于任意的$x\in {\mathbb{R}}^n$和任意的$c\in \mathbb{R}$，都有$T(cx)=cT(x)$。

   （注：本节中给出了几个线性变换的例子，看看就行）

5. （17.1.7 膨胀算子？）对于任意的$n$，定义为$T_{1}x:=5x$的膨胀算子$T_1:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$是一个线性变换。

6. （17.1.8 旋转算子？）旋转算子$T_1:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$的定义是将${\mathbb{R}}^2$中的每一个向量都沿顺时针方向旋转$\pi /2$弧度，这个算子也是一个线性变换。

7. （17.1.9 三个例子？）定义为$T_3(x,y,z):=(x,y)$的射影算子$T_3:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$是一个线性变换；定义为$T_2(x,y):=(x,y,0)$的包含算子$T_4:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^3$是一个线性变换；最后，对于任意的$n$，定义为$I_{n}x:=x$的恒等算子$I_n:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$是一个线性变换。

8. （17.1.10 矩阵）$m\times n$矩阵是具有如下形式的对象$A$：

   $$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

   也可以简写为：

   $$A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m;1\le j\le n}$$

   其中对每一个$1\le i\le m$与$1\le j\le n$，$a_{ij}$都是一个实数。因此$n$维行向量就是一个$1\times n$矩阵，$n$维列向量就是一个$n\times 1$矩阵。

9. （17.1.11 矩阵的乘积）给定一个$m\times n$矩阵$A$和一个$n\times p$矩阵$B$，我们可以把矩阵乘积$AB$定义为下面这个$m\times p$矩阵：

   $$(a_{ij}{)}_{1\le i\le m;1\le j\le n}(b_{jk}{)}_{1\le j\le n;1\le k\le p}:={\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}\right)}_{1\le i\le m;1\le k\le p}$$

   ​ 特别地，如果$x^T=(x_i{)}_{1\le i\le n}^T$是一个$n$维列向量，并且$A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m;1\le j\le n}$是一个$m\times n$矩阵，那么$A{x}^T$就是一个$m$维列向量：

   $$A{x}^T={\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)}_{1\le i\le m}^T$$

   ​ 借此我们可以将矩阵和线性变换联系起来。如果$A$是一个$m\times n$矩阵，那么我们可以把变换$L_A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$定义为：

   $$(L_{A}x{)}^T:=A{x}^T$$

   （注：这揭示了每一个矩阵都对应者一个线性变换）

命题 ​

1. （17.1.2 ${\mathbb{R}}^n$是一个向量空间）设$x,y,z$都是${\mathbb{R}}^n$中的向量，并设$c,d$是实数。那么我们有加法交换律：$x+y=y+x$；加法结合律：$(x+y)+z=x+(y+z)$；加法恒等性：$x+0=0+x=x$；加法逆元性：$x+(-x)=(-x)+x=0$；乘法结合律：$(cd)x=c(dx)$；分配律：$c(x+y)=cx+cy$和$(c+d)x=cx+dx$；乘法恒等性：$1x=x$。

2. （17.1.13）设$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是一个线性变换，那么恰好存在一个$m\times n$矩阵$A$使得$T=L_A$。

   （注：这揭示了每一个线性变换都对应者一个矩阵，这样便建立了线性变换与矩阵之间的一一对应关系；如果$T=L_A$，那么$A$有时被称为$T$的矩阵表示，并记有$A=[T]$（但是本书不用这个记号））

3. （17.1.16）设$A$是一个$m\times n$矩阵，$B$是一个$n\times p$矩阵，那么$L_A{L}_B=L_{AB}$。

课后习题 ​

17.1.1 证明引理17.1.2 ​

我们设$x=(x_i{)}_{1\le i\le n}$，$y=(y_i{)}_{1\le i\le n}$与$z=(z_i{)}_{1\le i\le n}$。然后逐条证明：

---

1. 加法交换律：$x+y=y+x$。

根据定义我们有：

$$x+y=(x_i+y_i{)}_{1\le i\le n}=(y_i+x_i{)}_{1\le i\le n}=y+x$$

于是结论得证。

---

2. 加法结合律：$(x+y)+z=x+(y+z)$。

根据定义我们有：

$$\begin{array}{rl}(x+y)+z& =(x_i+y_i{)}_{1\le i\le n}+(z_i{)}_{1\le i\le n}\\ & =((x_i+y_i)+z_i{)}_{1\le i\le n}\\ & =(x_i+(y_i+z_i){)}_{1\le i\le n}\\ & =(x_i{)}_{1\le i\le n}+(y_i+z_i{)}_{1\le i\le n}=x+(y+z)\end{array}$$

于是结论得证。

---

3. 加法恒等性：$x+0=0+x=x$。

根据定义我们有：

$$x+0=(x_i+0{)}_{1\le i\le n}=(x_i{)}_{1\le i\le n}=x$$

利用加法交换律即有$x+0=0+x$，于是结论得证。

---

4. 加法逆元性：$x+(-x)=(-x)+x=0$。

根据定义我们有：

$$x+(-x)=(x_i+(-x_i){)}_{1\le i\le n}=(0{)}_{1\le i\le n}=0$$

利用加法交换律即有$x+(-x)=(-x)+x$，于是结论得证。

---

5. 乘法结合律：$(cd)x=c(dx)$；

根据定义我们有：

$$\begin{array}{rl}(cd)x& =((cd)x_i{)}_{1\le i\le n}\\ & =(c(d{x}_i){)}_{1\le i\le n}\\ & =c(d{x}_i{)}_{1\le i\le n}=c(dx)\end{array}$$

于是结论得证。

---

6. 分配律：$c(x+y)=cx+cy$和$(c+d)x=cx+dx$；

根据定义我们有：

$$\begin{array}{rl}c(x+y)& =c(x_i+y_i{)}_{1\le i\le n}\\ & =(c(x_i+y_i){)}_{1\le i\le n}\\ & =(c{x}_i+c{y}_i{)}_{1\le i\le n}\\ & =(c{x}_i{)}_{1\le i\le n}+(c{y}_i{)}_{1\le i\le n}=cx+cy\end{array}$$$$\begin{array}{rl}(c+d)x& =((c+d)x_i{)}_{1\le i\le n}\\ & =(c{x}_i+d{x}_i{)}_{1\le i\le n}\\ & =(c{x}_i{)}_{1\le i\le n}+(d{x}_i{)}_{1\le i\le n}=cx+dx\end{array}$$

于是结论得证。

---

7. 乘法恒等性：$1x=x$。

根据定义我们有：

$$\begin{array}{rl}1x& =(1\cdot x_i{)}_{1\le i\le n}\\ & =(x_i{)}_{1\le i\le n}=x\end{array}$$

于是结论得证。

17.1.2 设$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是一个线性变换，并且$S:{\mathbb{R}}^p\to {\mathbb{R}}^n$也是一个线性变换。定义$T$和$S$的复合$TS:{\mathbb{R}}^p\to {\mathbb{R}}^m$为$TS(x):=T(S(x))$。试证明：这两个变换的复合$TS$也是一个线性变换（提示：通过使用大量的括号，小心地展开$TS(x+y)$和$TS(cx)$） ​

根据线性变换的定义，对任意的$x,y\in {\mathbb{R}}^p$与任意的$c\in \mathbb{R}$，应当有：

$$\begin{array}{c}TS(x+y)=T(S(x+y))=T(S(x)+S(y))=T(S(x))+T(S(y))=TS(x)+TS(y)\\ TS(cx)=T(S(cx))=T(cS(x))=cT(S(x))=cTS(x)\end{array}$$

于是根据线性变换的定义（定义17.1.6）我们有$TS$也是一个线性变换，结论得证。

17.1.3 证明引理17.1.16 ​

设$A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m;1\le j\le n}$与$B=(b_{jk}{)}_{1\le j\le n;1\le k\le p}$。考虑任意的$p$维行向量$x=(x_i{)}_{1\le k\le p}$，根据定义我们有：

$$\begin{array}{rl}(L_B(x){)}^T& =B{x}^T\\ & ={\left(\sum _{k=1}^p{b}_{jk}{x}_k\right)}_{1\le j\le n}^T\end{array}⟺L_B(x)={\left(\sum _{k=1}^p{b}_{jk}{x}_k\right)}_{1\le j\le n}$$$$\begin{array}{rl}(L_A(L_B(x)){)}^T& =A{L}_B(x{)}^T\\ & ={\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\left(\sum _{k=1}^p{b}_{jk}{x}_k\right)\right)}_{1\le i\le m}^T\end{array}⟺L_A{L}_B(x)={\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\left(\sum _{k=1}^p{b}_{jk}{x}_k\right)\right)}_{1\le i\le m}$$

同样，根据定义有：

$$\begin{array}{rl}(L_{AB}(x){)}^T& =(AB)x^T\\ & ={\left(\sum _{k=1}^p\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}\right)x_k\right)}_{1\le i\le m}^T\end{array}⟺L_{AB}(x)={\left(\sum _{k=1}^p\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}\right)x_k\right)}_{1\le i\le m}$$

注意到根据有限级数的富比尼定理（定理7.1.14），对任意的$1\le i\le m$都应该有：

$$\sum _{k=1}^p\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}\right)x_k=\sum _{k=1}^p\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}{x}_k=\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^p{a}_{ij}{b}_{jk}{x}_k=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\left(\sum _{k=1}^p{b}_{jk}{x}_k\right)$$

因此即有$L_A{L}_B(x)=L_{AB}(x)$对任意的$x\in {\mathbb{R}}^p$都成立，从而引理17.1.16得证。

17.1.4 设$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是一个线性变换。证明：存在一个数$M>0$，使得对于所有的$x\in {\mathbb{R}}^n$都有$\Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert$（提示：根据引理17.1.13，用矩阵$A$来表述$T$。然后让$M$等于$A$的所有元素的绝对值之和；多使用三角不等式，它要比处理平方根之类的事情要容易）进而推导出从${\mathbb{R}}^n$到${\mathbb{R}}^m$的每一个线性变换都是连续的 ​

我们先证明第一个结论，我们知道$\Vert Tx\Vert \le M\Vert x\Vert$当且仅当$\Vert Tx{\Vert }^2\le M^2\Vert x{\Vert }^2$，于是我们只需要讨论平方的情况即可（这要方便一点）。

根据引理17.1.13，我们知道存在一个$m\times n$矩阵$A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le m;1\le j\le n}$使得$T=L_A$，从而对任意的$x=(x_i{)}_{1\le i\le n}\in {\mathbb{R}}^n$有：

$$Tx=L_{A}x={\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)}_{1\le i\le m}$$

于是有：

$$\Vert Tx{\Vert }^2=\sum _{i=1}^m{\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)}^2$$

注意到：

$${\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\right)}^2\le {(\sum _{j=1}^n|a_{ij}{x}_j|)}^2\le n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2{x}_j^2$$

（利用出租车度量与欧几里得度量的大小关系（例12.1.7））

于是利用有限级数的富比尼定理我们有：

$$\begin{array}{rl}\Vert Tx{\Vert }^2& \le n\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{ij}^2{x}_j^2\\ & =n\sum _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^m{a}_{ij}^2\right)x_j^2\end{array}$$

于是我们令${\displaystyle M:=\sqrt{n\sum _{j=1}^n\sum _{i=1}^m{a}_{ij}^2}}$，则此时有：

$$\begin{array}{rl}{M}^2\Vert x{\Vert }^2& =n\sum _{j=1}^n\left(\sum _{k=1}^n\sum _{i=1}^m{a}_{ik}^2\right)x_j^2\\ & \ge n\sum _{j=1}^n\left(\sum _{i=1}^m{a}_{ij}^2\right)x_j^2\\ & \ge \Vert Tx{\Vert }^2\end{array}$$

于是第一个结论得证。

然后我们证明第二个结论，对任意的线性变换$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，根据上面的结论我们知道存在一个对应的$M>0$。然后考虑任意的$\epsilon >0$与任意的$x_0\in {\mathbb{R}}^n$，我们取${\displaystyle \delta :=\frac{\epsilon }{M}}$，于是对任意的$x\in {\mathbb{R}}^n$满足$d_{l^2}(x,x_0)<\delta$，我们有：

$$\begin{array}{rl}{d}_{l^2}(Tx,T{x}_0)& =\Vert Tx-T{x}_0\Vert \\ & =\Vert T(x-x_0)\Vert \\ & \le M\Vert x-x_0\Vert \\ & <M\delta =\epsilon \end{array}$$

于是即$T$在$x_0$处连续，由于$x_0$任意因此也即$T$是${\mathbb{R}}^n$上的连续函数，第二个结论得证。