17.5 二阶导数和克莱罗定理 ​

定义 ​

1. （17.5.1 二次连续可微性）设$E$是${\mathbb{R}}^n$的开子集，并设$f:E\to {\mathbb{R}}^m$是一个函数。如果偏导数${\displaystyle \frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_1},...,\frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_n}}$都存在并且都在$E$上连续，那么我们称$f$是连续可微的；如果$f$是连续可微的，并且偏导数${\displaystyle \frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_1},...,\frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_n}}$也都是连续可微的，那么我们称$f$是二次连续可微的。

   （注：有时候，连续可微的函数被称为$C^1$函数，二次连续可微的函数被称为$C^2$函数）

命题 ​

1. （17.5.4 克莱罗定理）设$E$是${\mathbb{R}}^n$的开子集，并设$f:E\to {\mathbb{R}}^m$是$E$上的二次连续可微函数。那么对于所有的$1\le i,j\le n$和所有的$x_0\in E$，都有：$$\frac{\text{part}}{\text{part}{x}_j}\frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_i}(x_0)=\frac{\text{part}}{\text{part}{x}_i}\frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_j}(x_0)$$（注：必须要有“二阶导数连续”的前提才能成立克莱罗定理，详见习题17.5.1与原书证明）

课后习题 ​

17.5.1 设$f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$是一个函数，其定义为：当$(x,y)\ne (0,0)$时，${\displaystyle f(x,y):=\frac{x{y}^3}{x^2+y^2}}$；当$(x,y)=(0,0)$时，$f(x,y)=0$。证明：$f$是连续可微的，其二阶偏导数${\displaystyle \frac{\text{part}}{\text{part}y}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}}$和${\displaystyle \frac{\text{part}}{\text{part}x}\frac{\text{part}f}{\text{part}y}}$都存在，但是它们在$(0,0)$处的取值不相等。解释这为什么不与克莱罗定理矛盾 ​

我们首先证明$f$是连续可微的。

直接去计算$f$关于$x,y$的偏导数（其中$(x,y)\ne (0,0)$），我们有：

$$\frac{\text{part}f}{\text{part}x}(x,y)=\frac{y^3(y^2-x^2)}{(x^2+y^2{)}^2}\frac{\text{part}f}{\text{part}y}(x,y)=\frac{x{y}^2(3x^2+y^2)}{(x^2+y^2{)}^2}$$

都是连续的，特别地，对$(0,0)$单独按照定义计算有：

$$\begin{array}{c}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}(0,0)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{0}{(t^2+0^2)t}=0\\ \frac{\text{part}f}{\text{part}y}(0,0)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{0}{(0^2+t^2)t}=0\end{array}$$

另一方面我们又有：

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}(x,y)=0\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{\text{part}f}{\text{part}y}(x,y)=0$$

（转换为序列的极限问题后使用比较原理即可，参考的对比对象是$\pm y({\text{part}}_{x}f)$与$\pm 3x({\text{part}}_{y}f)$）

于是${\displaystyle \frac{\text{part}f}{\text{part}y}}$与${\displaystyle \frac{\text{part}f}{\text{part}x}}$都是在$(0,0)$处连续的。综上即有$f$是连续可微的。

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然后我们去证明$f$的二阶偏导数${\displaystyle \frac{\text{part}}{\text{part}y}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}}$和${\displaystyle \frac{\text{part}}{\text{part}x}\frac{\text{part}f}{\text{part}y}}$都存在，但是它们在$(0,0)$处的取值不相等。

根据定义，我们直接计算有：

$$\begin{array}{c}\frac{\text{part}}{\text{part}y}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}(0,0)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{t^3(t^2-0^2)}{(0^2+t^2{)}^{2}t}=1\\ \frac{\text{part}}{\text{part}x}\frac{\text{part}f}{\text{part}y}(0,0)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{t{0}^2(3t^2+0^2)}{(t^2+0^2{)}^{2}t}=0\end{array}$$

是不相等的。之所以不与克莱罗定理矛盾，这是因为在$(x,y)\ne (0,0)$，我们可以求导有：

$$\begin{array}{c}\frac{\text{part}}{\text{part}y}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}(x,y)=\frac{-3x^4{y}^2+6x^2{y}^4+y^6}{(x^2+y^2{)}^3}\\ \frac{\text{part}}{\text{part}x}\frac{\text{part}f}{\text{part}y}(x,y)=\frac{-3x^4{y}^2+6x^2{y}^4+y^6}{(x^2+y^2{)}^3}\end{array}$$

在$(0,0)$处，我们可以考察从不同方向收敛于$(0,0)$的序列（以$((0,1/n){)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$与$((1/n,0){)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$为例），此时有：

$$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\text{part}}{\text{part}y}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}(0,1/n)=\frac{(1/n{)}^6}{((1/n{)}^2{)}^3}=1\\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\text{part}}{\text{part}y}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}(1/n,0)=\frac{0}{((1/n{)}^2{)}^3}=0\end{array}$$

是不相等的，因此${\displaystyle \frac{\text{part}}{\text{part}y}\frac{\text{part}f}{\text{part}x}}$不是在$(0,0)$处连续的函数（同理${\displaystyle \frac{\text{part}}{\text{part}x}\frac{\text{part}f}{\text{part}y}}$也是一样），于是不能应用克莱罗定理。