17.6 压缩映射定理 ​

定义 ​

1. （17.6.1 压缩）设$(X,d)$是一个度量空间，并设$f:X\to X$是一个映射。如果对于所有的$x,y\in X$都有$d(f(x),f(y))\le d(x,y)$，那么我们称$f$是一个压缩映射。如果存在一个常数$0<c<1$，使得对于所有的$x,y\in X$都有$d(f(x),f(y))\le cd(x,y)$，那么我们称$f$是一个严格压缩映射，$c$被称为$f$的压缩常数。

   （注：这节是为了反函数定理做铺垫的，因此如果只是为了研究多元微积分那么本节只有引理17.6.6是重要的内容，但是压缩映射定理本身作为不动点定理的例子也有足够的研究价值；关于压缩映射的例子，本节习题与原书中都给出了一些例子）

2. （17.6.3 不动点）设$f:X\to X$是一个映射，并设$x\in X$。如果$f(x)=x$，则我们称$x$是$f$的不动点。

命题 ​

1. （17.6.4 压缩映射定理）设$(X,d)$是一个度量空间，并设$f:X\to X$是一个严格压缩映射，那么$f$最多有一个不动点。另外，如果假设$X$是一个非空的完备空间，那么$f$恰好有一个不动点。

   （注：压缩映射定理是不动点定理的一个例子）

2. （17.6.6）设$B(0,r)$是${\mathbb{R}}^n$中以原点为中心的球，并设$g:B(0,r)\to {\mathbb{R}}^n$是一个映射，它使得$g(0)=0$，并且对于所有的$x,y\in B(0,r)$都有：

   $$\Vert g(x)-g(y)\Vert \le \frac{1}{2}\Vert x-y\Vert$$

   那么定义为$f(x):=x+g(x)$的函数$g:B(0,r)\to {\mathbb{R}}^n$是一对一的，并且$f$的像包含了球$B(0,r/2)$。

课后习题 ​

17.6.1 设$f:[a,b]\to \mathbb{R}$是一元可微函数，并且使得对于所有的$x\in [a,b]$都有$|f^{\prime }(x)|\le 1$，证明：$f$是压缩映射（提示：利用平均值定理，即推论10.2.9）。另外，证明：如果对于所有的$x\in [a,b]$都有$|f^{\prime }(x)|<1$且$f^{\prime }$是连续的，那么$f$是一个严格压缩映射 ​

由于$f$是可微的，因此对于任意的$x,y\in [a,b]$满足$x<y$，应用平均值定理我们有：

$$\mathrm{\exists }\xi \in (x,y),\frac{f(x)-f(y)}{x-y}=f^{\prime }(\xi )⟹|f(x)-f(y)|=|f^{\prime }(\xi )||x-y|$$

若有对于所有的$x\in [a,b]$都有$|f^{\prime }(x)|\le 1$，则上式表明$|f(x)-f(y)|\le |x-y|$，即$f$是一个压缩映射。

若对于所有的$x\in [a,b]$都有$|f^{\prime }(x)|<1$且$f^{\prime }$连续，则根据最大值原理（命题9.6.7）我们知道分别存在$x_{max},x_{min}\in [a,b]$使得$f^{\prime }$达到最大值与最小值，再结合对于所有的$x\in [a,b]$都有$|f^{\prime }(x)|<1$于是有：

$$\mathrm{\forall }\xi \in [a,b],-1<f^{\prime }(x_{min})\le f^{\prime }(\xi )\le f^{\prime }(x_{max})<1⟹|f^{\prime }(\xi )|\le max(|f^{\prime }(x_{max})|,|f^{\prime }(x_{min})|)<1$$

从而上面的结论可以引申为$f$是一个压缩系数为$max(|f^{\prime }(x_{max})|,|f^{\prime }(x_{min})|)$的严格压缩映射。

（$x=y$的情形不需要讨论，此情况下结论是平凡的）

17.6.2 证明：如果$f:[a,b]\to \mathbb{R}$是一个可微的压缩映射，那么$|f^{\prime }(x)|\le 1$对所有的$x\in [a,b]$都成立 ​

考虑任意的$x_0\in [a,b]$，由于$f$在$x_0$处可微，因此由牛顿逼近法（命题10.1.7）对任意$\epsilon >0$存在$\delta >0$使得对任意的$|x-x_0|<\delta$都有：

$$0\le |f(x)-f(x_0)-f^{\prime }(x_0)(x-x_0)|\le \epsilon |x-x_0|$$

于是利用三角不等式，我们有：

$$|f^{\prime }(x_0)||x-x_0|\le |f(x)-f(x_0)|\le (|f^{\prime }(x_0)|+\epsilon )|x-x_0|$$

再结合$f$是一个压缩映射，因此有：

$$|f^{\prime }(x_0)||x-x_0|\le |f(x)-f(x_0)|\le |x-x_0|⟹|f^{\prime }(x_0)|\le 1$$

于是结论得证。

17.6.3 给出函数$f:[a,b]\to \mathbb{R}$的一个例子，使得$f$是连续可微的函数，并且对于所有不同的$x,y\in [a,b]$都有$|f(x)-f(y)|<|x-y|$，但是同时在$[a,b]$中至少存在一个$x$使得$|f^{\prime }(x)|=1$ ​

考虑函数$f:[0,1]\to \mathbb{R}$有：

$$f(x):=\frac{1}{2}{x}^2$$

显然，对于任意的$x,y\in [0,1]$满足$x\ne y$有：

$$|f(x)-f(y)|=\frac{1}{2}|x^2-y^2|\le \frac{1}{2}|x-y||x+y|<|x-y|$$

（注意到$x\ne y$时有$0<x+y<2$）

但是在$x=1$处，我们可以求导有$|f^{\prime }(x)|=1$。$f$就是题目要求的函数。

17.6.4 给出函数$f:[a,b]\to \mathbb{R}$的一个例子，使得$f$是一个严格压缩映射，但是同时在$[a,b]$中至少存在一个$x$使得$f$在$x$处不可微 ​

考虑函数$f:[-1,1]\to \mathbb{R}$有：

$$f(x):=\frac{1}{2}|x|$$

显然，对于任意的$x,y\in [-1,1]$：

$$|f(x)-f(y)|=\frac{1}{2}||x|-|y||\le \frac{1}{2}|x-y|$$

（注意到$|x|\le |x-y|+|y|⟺|x|-|y|\le |x-y|$）

但是在$x=0$处$f$是不可微的。$f$就是题目要求的函数。

17.6.5 验证例17.6.2中的结论 ​

例17.6.2内容如下：

定义为$f(x):=x+1$的映射$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是一个压缩映射，但它不是严格压缩映射。定义为$f(x):=x/2$的映射$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是一个严格压缩映射。定义为$f(x):=x-x^2$的映射$f:[0,1]\to [0,1]$是一个压缩映射，但不是严格压缩映射。

---

我们分别验证这三个函数的性质。

1. $f(x):=x+1$：

   对任意的$x,y\in \mathbb{R}$，我们有：

   $$|f(x)-f(y)|=|x+1-y-1|=|x-y|\le |x-y|$$

   于是$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是一个压缩映射。

2. $f(x):=x/2$：

   对任意的$x,y\in \mathbb{R}$，我们有：

   $$|f(x)-f(y)|=|x/2-y/2|=|x-y|/2\le \frac{1}{2}|x-y|$$

   于是$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是一个严格压缩映射。

3. $f(x):=x-x^2$：

   对任意的$x,y\in [0,1]$，我们有：

   $$|f(x)-f(y)|=|x-x^2-y+y^2|=|x-y||1-x-y|$$

   注意到由于$x,y\in [0,1]$因此有$|1-x-y|\in [0,1]$，从而上式即有$|f(x)-f(y)|\le |x-y|$，于是$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$是一个压缩映射。

综上，结论得证。

17.6.6 证明：定义在度量空间$X$上的每一个压缩映射都是连续的 ​

设$X$具有度量$d$，并设$f:X\to X$是一个压缩映射，然后考虑任意的$x_0\in X$。对任意的$\epsilon >0$，我们令$\delta :=\epsilon$，从而对任意的$x\in X$满足$d(x,x_0)<\delta$，我们有：

$$d(f(x),f(x_0))\le d(x,x_0)<\epsilon$$

也即$f$在$x_0$处连续，从而我们证明了$f$是$X$上的连续函数。

17.6.7 证明定理17.6.4（提示：利用反证法来证明最多有一个不动点。为了证明至少有一个不动点，任取一点$x_0\in X$，递归地定义$x_1=f(x_0)$，$x_2=f(x_1)$，$...$，然后利用归纳法证明$d(x_{n+1},x_n)\le c^{n}d(x_1,x_0)$（利用引理7.3.3的几何级数公式），进而利用完备空间的性质证明这个序列的极限就是$f$的不动点） ​

我们先证明严格压缩映射$f:X\to X$（其压缩常数为$c$）至多存在一个不动点。

使用反证法，我们设$f$同时存在两个不同的不动点$x_0,x_1$，则我们有：

$$d(x_0,x_1)=d(f(x_0),f(x_1))\le cd(x_0,x_1)<d(x_0,x_1)$$

与$f$是一个严格压缩映射的前提存在矛盾，因此$f$至多只能存在一个不动点。

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然后我们再来证明当$X$是一个非空完备空间时$f$至少存在一个不动点（从而结合前面的结论即$f$恰有一个不动点）。考虑某个$x_0\in X$，如果$x_0$就是$f$的不动点则我们完成了我们的寻找；如果$x_0$不是$f$的不动点，则我们递归地定义序列$(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$有：

$$\mathrm{\forall }n\ge 0,x_{n+1}:=f(x_n)$$

然后我们可以注意到一个显然的结论：对任意的$n\ge 0$都有$d(x_{n+1},x_n)\le c^{n}d(x_0,x_1)$ 这是因为：

使用归纳法证明。$n=0$的情况显然成立，于是归纳地假设$n=a$时成立结论，对$n=a+1$的情况，结合归纳假设我们有：

$$d(x_{a+2},x_{a+1})=d(f(x_{a+1}),f(x_a))\le cd(x_{a+1},x_a)\le c^{a+1}d(x_0,x_1)$$

（最后一个$\le$用到了归纳假设）

于是对$n=a+1$的情况也成立结论，综合即有归纳得证。

从而我们不妨令有$l:=d(x_0,x_1)$。此时对任意的$\epsilon >0$，我们令有$N$是使得$c^{N}l<\epsilon (1-c)$成立的最小自然数（由于$n\to \mathrm{\infty }$时$c^n$收敛于0，因此这样的自然数肯定是存在的），然后讨论任意的$i,j\ge N$（不妨设$i\le j$），根据三角不等式与几何级数公式有：

$$d(x_i,x_j)\le \sum _{k=i}^{j-1}d(x_k,x_{k+1})\le \sum _{k=N}^{\mathrm{\infty }}d(x_k,x_{k+1})\le \sum _{k=N}^{\mathrm{\infty }}{c}^{k}l=\frac{c^{N}l}{1-c}<\epsilon$$

这表明$(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$是$X$中的一个柯西序列，从而由于$X$是完备的因此$(x_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$应当收敛于某个$x\in X$。注意到在习题17.6.6中我们证明了$f$的连续性，因此根据命题13.1.4我们有：

$$f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{n+1}=x$$

综上我们证明了至少存在一个$x\in X$满足$f(x)=x$（即$x$是$f$的不动点），证明完毕。

17.6.8 设$(X,d)$是一个完备度量空间，并设$f:X\to X$和$g:X\to X$是$X$上的两个严格压缩映射，它们的压缩常数分别是$c$和$c^{\prime }$。由定理17.6.4可知，$f$有某个不动点$x_0$且$g$有某个不动点$y_0$。假设存在一个$\epsilon >0$使得对于所有的$x\in X$都有$d(f(x),g(x))\le \epsilon$（也即$f$和$g$的一致度量不超过$\epsilon$），然后证明：$d(x_0,y_0)\le \epsilon /(1-min(c,c^{\prime }))$。这个结论表明相近的压缩映射具有相近的不动点 ​

我们可以从两个方面考虑应用度量的三角不等式。

一方面，考虑$g(x_0)$参与三角不等式，此时我们有：

$$d(x_0,y_0)\le d(x_0,g(x_0))+d(g(x_0),y_0)$$

考虑不动点的性质。由于$x_0$同时也是$f(x_0)$，因此由$f,g$的性质我们有$d(x_0,g(x_0))\le \epsilon$；由于$y_0$同时也是$g(y_0)$，因此由严格压缩映射的性质我们有$d(g(x_0),y_0)\le c^{\prime }d(x_0,y_0)$。于是上面的不等式可以化为：

$$d(x_0,y_0)\le \epsilon +c^{\prime }d(x_0,y_0)⟺(1-c^{\prime })d(x_0,y_0)\le \epsilon$$

另一方面，考虑$f(y_0)$参与三角不等式，此时我们有：

$$d(x_0,y_0)\le d(x_0,f(y_0))+d(f(y_0),y_0)$$

同样考虑不动点的性质。由于$x_0$同时也是$f(x_0)$，因此由严格压缩映射的性质我们有$d(x_0,f(y_0))\le cd(x_0,y_0)$；由于$y_0$同时也是$g(y_0)$，因此由$f,g$的性质我们有$d(f(y_0),y_0)\le \epsilon$。于是上面的不等式可以化为：

$$d(x_0,y_0)\le cd(x_0,y_0)+\epsilon ⟺(1-c)d(x_0,y_0)\le \epsilon$$

综合上面两个不等式，于是我们得到了一个新的不等式：

$$max(1-c^{\prime },1-c)d(x_0,y_0)\le \epsilon ⟺d(x_0,y_0)\le \frac{\epsilon }{max(1-c^{\prime },1-c)}$$

最后再注意到：

$$max(1-c^{\prime },1-c)=1+max(-c^{\prime },-c)=1-min(c,c^{\prime })$$

综上从而我们证明了必然有${\displaystyle d(x_0,y_0)\le \frac{\epsilon }{1-min(c,c^{\prime })}}$，证明完毕。

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实分析 7.3 非负数的和

实分析 10.2 局部最大值、局部最小值以及导数