17.7 多元微积分的反函数定理 ​

摘录 ​

1. （一元反函数定理的回顾）在定理10.4.2中，我们曾经阐述了一元微积分的反函数定理。该定理断定了只要函数$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$可微且可逆，并且$f^{-1}$在$f(x_0)$处连续，那么只要$f^{\prime }(x_0)$不等于零，就有$f^{-1}$在$f(x_0)$处可微，并且有：$$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x_0))=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$$​ 实际上，只要$f$是连续可微的，那么即使$f$不可逆，我们也可以给出一些结论。如果$f^{\prime }(x_0)$不为零，那么$f^{\prime }(x_0)$要么是严格正的要么是严格负的。这意味着对于$x_0$附近的$x$来说，$f^{\prime }(x)$要么是严格正的，要么是严格负的。因此，在一个$x_0$附近足够小的范围内，$f$就是可逆的（用专业术语来表述，就是**$f$在$x_0$的附近局部可逆**）。而对于多元函数$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$的情况，也有一个类似的定理成立，但是由于全导数已经从“数”变成了“线性变换”，因此“$f^{\prime }(x_0)\ne 0$”这个条件要变换为一个相似的条件，即“$f^{\prime }(x_0)$是可逆的”。

命题 ​

1. （17.7.1）设$T:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$是一个可逆的线性变换。那么逆变换$T^{-1}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$也是线性的。

2. （17.7.2 反函数定理）设$E$是${\mathbb{R}}^n$的一个开子集，并设$f:E\to {\mathbb{R}}^n$是$E$上的一个连续可微函数。如果$x_0\in E$使得线性变换$f^{\prime }(x_0):{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$可逆，那么在$E$中存在一个包含点$x_0$的开集$U$，并且在${\mathbb{R}}^n$中存在一个包含$f(x_0)$的开集$V$，使得$f$是从$U$到$V$的双射。特别地，存在逆映射$f^{-1}:V\to U$。另外，这个逆映射在$f(x_0)$处可微，并且

   $$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x_0))=(f^{\prime }(x_0){)}^{-1}$$

   （注：上一节的引理17.6.6再反函数定理的证明中用到了（为了寻找这个限制区域使得$f$双射），回顾原书中的证明你或许能更好地体会连续可微在反函数定理证明中的作用；反函数定理给出了一个判断$f$是否在$x_0$处局部可逆的判别方法——即只需要计算它的导数$f^{\prime }(x_0)$是否可逆。考虑到线性变换与矩阵的联系（$f^{\prime }(x_0)$可逆当且仅当$Df(x_0)$可逆），因此只需要判别导数矩阵$Df(x_0)$是否可逆即可；如果$f^{\prime }(x_0)$存在但不可逆，那么反函数定理就不适用。在这种情形下$f^{-1}$不可能在$x_0$处存在，更不会在$f(x_0)$处可微，这一点参阅原书证明过程）

课后习题 ​

17.7.1 设$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$的定义如下：当$x\ne 0$时，$f(x):=x+x^2\sin (1/x^4)$；当$x=0$时，$f(x):=0$。证明：$f$是可微的并且$f^{\prime }(0)=1$，但在任何一个包含$0$的开集上$f$都不是单调递增的（提示：证明不管$x$与$0$的距离有多近，$f$的导数都有可能变成负数。画出$f$的图也许会有助于思考） ​

我们先证明$f$是可微的且$f^{\prime }(0)=1$。

对$x\ne 0$的时候，我们可以通过微分的运算法则直接得到$f$在$x$处可微且：

$$f^{\prime }(x)=1+2x\sin (x^{-4})-4x^{-3}\cos (x^{-4})$$

而对于$0$点的情况，我们可以直接依据定义求导有：

$$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}1+x\sin (1/x^{-4})=1$$

然后我们再来证明在任意一个包含$0$的开集上$f$都不是单调递增的。

我们已知三角函数满足：

$$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z},\sin (2k\pi )=0,\cos (2k\pi )=1$$

然后我们使用反证法来证明这个结论。设存在一个包含$0$的开集$U$使得$f$在$U$上单调递增，那么结合命题10.3.1与内点的性质我们知道这表明存在一个$\delta >0$使得对任意的$x\in (-\delta ,\delta )$都有$f^{\prime }(x)\le 0$。此时由阿基米德性质（推论5.4.13）我们知道存在整数$k\ge 1$满足${\displaystyle 2k{\pi }^{\frac{1}{4}}\delta >1⟺\frac{1}{2k{\pi }^{\frac{1}{4}}}<\delta }$。然后我们考察$f$在${\displaystyle \frac{1}{2k{\pi }^{\frac{1}{4}}}}$处的导数：

$$f^{\prime }\left(\frac{1}{2k{\pi }^{\frac{1}{4}}}\right)=1+\frac{2}{2k{\pi }^{\frac{1}{4}}}\sin (16k^4\pi )-32k^3{\pi }^{\frac{3}{4}}\cos (16k^4\pi )=1-32k^3{\pi }^{\frac{3}{4}}<0$$

导出了矛盾，反证假设不成立，只能有在任意一个包含$0$的开集上$f$都不是单调递增的，结论得证。

综上，证明完毕。

17.7.2 证明引理17.7.1 ​

考虑任意的$y,y^{\prime }\in {\mathbb{R}}^n$与$c\in \mathbb{R}$，我们设$y=T(x)$与$y^{\prime }=T(x^{\prime })$（即$x=T^{-1}(y)$与$x^{\prime }=T^{-1}(y^{\prime })$）。要证明$T^{-1}$是一个线性变换，则需要证明：

1. $T^{-1}(y)+T^{-1}(y^{\prime })=T^{-1}(y+y^{\prime })$。

   注意到由于$T$是一个线性变换，因此有：

   $$T(x)+T(x^{\prime })=T(x+x^{\prime })⟺y+y^{\prime }=T(x+x^{\prime })$$

   由于$T$是可逆的（也即$T$是一个双射），因此这表明有$T^{-1}(y+y^{\prime })=x+x^{\prime }$，结合前设即有：

   $$T^{-1}(y)+T^{-1}(y^{\prime })=x+x^{\prime }=T^{-1}(y+y^{\prime })$$

   结论得证。

2. $T^{-1}(cy)=c{T}^{-1}(y)$。

   注意到由于$T$是一个线性变换，因此有：

   $$T(cx)=cT(x)⟺cy=T(cx)$$

   由于$T$是可逆的（也即$T$是一个双射），因此这表明有$T^{-1}(cy)=cx$，结合前设即有：

   $$T^{-1}(cy)=cx=c{T}^{-1}(y)$$

   结论得证。

综上，于是我们证明了$T^{-1}$也是一个线性变换，引理17.7.1得证。

17.7.3 设$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$是一个连续可微函数。另外，对于任意的$x\in {\mathbb{R}}^n$，$f^{\prime }(x)$都是一个可逆的线性变换。证明：只要$V$是${\mathbb{R}}^n$中的开集，那么$f(V)$就是开集（提示：利用反函数定理） ​

考虑任意的$y_0\in f(V)$，根据函数象的定义我们知道存在$x_0\in V$使得$y_0=f(x_0)$。此时运用反函数定理，我们知道$E$中存在一个包含$x_0$的开集$U$与${\mathbb{R}}^n$中的一个包含$y_0$的开集$W$使得$f$是从$U$到$W$的双射。注意到由于$W$是开集因此存在某个$r>0$使得$B(y_0,r)\subseteq W$，然后由于$f(U)=W$有：

对任意的$y\in B(y_0,r)$，存在$x\in U$使得$f(x)=y$。由于$U\subseteq V$，因此$x$也是属于$V$的，因此也即有$y\in f(V)$。

从而即有$B(y_0,r)\subseteq f(V)$，换言之我们证明了对任意的$y_0\in f(V)$都有$y_0$是$f(V)$的内点，从而即$f(V)$是一个开集。

综上，结论得证。

17.7.4 沿用定理17.7.2的假设与符号。证明：通过必要地限制$U,V$的大小（当然要保证$x_0\in U$与$f(x_0)\in V$），可以使得对于所有的$x\in U$，导数映射$f^{\prime }(x)$都是可逆的，并且逆映射$f^{-1}$在$V$中的每一点处都是可微的，且有$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x))=(f^{\prime }(x){)}^{-1}$对所有的$x\in U$都成立。最后，证明：$f^{-1}$是在$V$上连续可微的 ​

注：本题来自第三版勘误表，详情请参考Analysis II:Errata；为了证明这个结论，我们需要用到行列式的知识，关于行列式的内容可以参考任意一本线性代数教材。

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1. 首先我们来证明通过必要地限制$U,V$的大小可以使得对于所有的$x\in U$，导数映射$f^{\prime }(x)$都是可逆的。

我们首先需要找一个足够合理的限制$U,V$大小的方法。注意到对任意的$x\in E$，$f^{\prime }(x)$可逆当且仅当$Df(x)$可逆，而根据线性代数的知识我们知道$Df(x)$可逆当且仅当$Df(x)$的行列式不为零。而对于任意一个矩阵$A=(a_{ij}{)}_{1\le i\le n;1\le j\le n}$，行列式$det(A)$的表达式为：

$$det(A)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{k_1{k}_2...k_n\in C}(-1{)}^k{a}_{1k_1}{a}_{n{k}_2}...a_{n{k}_n}$$

其中$C$是序列$1,2,...,n$所有排列方式的全集，而$k$是序列$k_1{k}_2...k_n$的逆序度。从而事实上$det$是一个$n^2$元多项式：

$$det(a_{11},...,a_{1n},a_{21},...,a_{nn}):=\sum _{k_1{k}_2...k_n\in C}(-1{)}^k{a}_{1k_1}{a}_{n{k}_2}...a_{n{k}_n}$$

（定义参见习题13.2.7，每个元的次数不是$1$就是$0$的特殊情景）

从而根据习题13.2.7，我们知道$det:{\mathbb{R}}^{n^2}\to \mathbb{R}$是一个连续函数。然后定义函数$g:E\to {\mathbb{R}}^{n^2}$有：

$$g(x_1,x_2,...,x_n):=(\frac{\text{part}{f}_1}{\text{part}{x}_1}(x),...,\frac{\text{part}{f}_1}{\text{part}{x}_n}(x),\frac{\text{part}{f}_2}{\text{part}{x}_1}(x),...,\frac{\text{part}{f}_n}{\text{part}{x}_n}(x))$$

由于$f$是连续可微的因此$g$也是连续的（类似于习题13.2.1的证明），从而根据推论13.1.7我们知道复合函数$det\circ g$也是连续的，这个函数为每一个$x\in E$给出了导数矩阵$Df(x)$的行列式值。由于定理17.7.2的假设中已经给出了$f^{\prime }(x_0)$可逆（即$det(Df(x_0))\ne 0$）从而根据$det\circ g$的连续性，我们知道存在一个$U$中的度量球$B(x_0,r)$，使得对任意的$x\in B(x_0,r)$都有：

$$|det\circ g(x)-det\circ g(x_0)|\le |det\circ g(x_0)|/2⟹|det(Df(x))|>0$$

也即$det(Df(x))\ne 0⟺f^{\prime }(x)$可逆，此时我们进一步限制函数$f$的定义域为$B(x_0,r)$，值域为$f(B(x_0,r))$（为了方便起见下文我们还是用$U,V$分别表示定义域和值域），从而对任意的$x\in U$，$f^{\prime }(x)$都是可逆的。

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2. 然后我们来证明$f^{-1}$在$V$中的每一点处都是可微的，且有$(f^{-1}{)}^{\prime }(f(x))=(f^{\prime }(x){)}^{-1}$对所有的$x\in U$都成立。

由于$f$已经是$U$到$V$的双射，因此对任意的$y\in V$都存在$x\in U$使得$y=f(x)$。从而运用反函数定理我们可以得到$f^{-1}$是在$y$处可逆的（结论1中我们已经证明了$f^{\prime }(x)$可逆）。并且有：

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=(f^{\prime }(x){)}^{-1}$$

也即结论得证。

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3. 最后我们证明$f^{-1}$是在$V$上连续可微的。

我们已经完成了前面两个结论的证明，得到了对于所有的$y\in V$（我们设$x\in U$满足$y=f(x)$）都有：

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)=(f^{\prime }(f^{-1}(y)){)}^{-1}$$

于是对于任意的$1\le i\le n$，我们可以得到偏导数：

$$\frac{\text{part}{f}^{-1}}{\text{part}{x}_i}(y)=(f^{-1}{)}^{\prime }(y)e_i=(f^{\prime }(x){)}^{-1}{e}_i$$

然后考虑任意的$\epsilon >0$，由于${\displaystyle \frac{\text{part}f}{\text{part}{x}_i}}$是连续的，因此对于所有的

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实分析 17.6 压缩映射定理