实分析

19.4 与黎曼积分的比较

命题

  1. (19.4.1)IR是一个区间,并设f:IR是一个黎曼可积的函数。那么,f也是绝对可积的,并且If=R.If

    (注:这就表明了勒贝格积分事实上是黎曼积分的推广(至少在一维情况下如此);与黎曼积分相比,勒贝格积分可以处理更多的函数,这就是我们为什么在分析学中使用勒贝格积分的主要原因之一(例如非常经典的狄利克雷函数在[0,1]上的积分,它不是黎曼可积的但是可以通过勒贝格积分给出一个合理的结果);另一方面,勒贝格积分可以很好地与极限运算进行交互,这一点可以从勒贝格单调收敛定理法都引理以及勒贝格控制收敛定理中看出,黎曼积分中我们并不能给出这样的相应定理(没记错的话,黎曼积分好像只有关于一致收敛的结论,参见命题14.6.1);关于本节的内容(包括后面19.5节的内容),个人推荐去看原书的证明过程,此处仅做记录方便查阅回看)


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实分析 14.6 一致收敛和积分

实分析 19.2 非负可测函数的积分

实分析 19.3 绝对可积函数的积分