19.5 富比尼定理 ​

命题 ​

1. （19.5.1 富比尼定理）设$f:{\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$是一个绝对可积的函数。那么，存在绝对可积的函数$F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$和$G:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$，使得对于几乎每一个$x$，$f(x,y)$关于$y$是绝对可积的，并且有：$$F(x)={\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\text{d}y$$同时，对于几乎每一个$y$，$f(x,y)$关于$x$是绝对可积的，并且有：$$G(y)={\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\text{d}x$$最后，还有$${\int }_{\mathbb{R}}F(x)\text{d}x={\int }_{{\mathbb{R}}^2}f={\int }_{\mathbb{R}}G(y)\text{d}y$$（注：非常粗略地说，富比尼定理表明：$${\int }_{\mathbb{R}}({\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\text{d}y)\text{d}x={\int }_{{\mathbb{R}}^2}f={\int }_{\mathbb{R}}({\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\text{d}x)\text{d}y$$于是在计算二维积分时，可以把它分解成两个一维积分的计算；没有将富比尼定理写成上述形式的原因是积分${\displaystyle {\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\text{d}y}$可能并不对每一个$x$都存在，类似地，积分${\displaystyle {\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\text{d}x}$可能并不对每一个$y$都存在，富比尼定理只能断言这些积分几乎对每一个$x$和$y$成立。一个很简单的例子，考虑函数$f(x,y)$满足：当$y>0$且$x=0$时，$f(x,y)=1$；当$y<0$且$x=0$时，$f(x,y)=-1$；其它任何情形下$f(x,y)=0$，那么$f$在${\mathbb{R}}^2$上是绝对可积的，并且${\displaystyle {\int }_{{\mathbb{R}}^2}f=0}$（因为$f$在${\mathbb{R}}^2$上几乎处处为零）。但是，当$x=0$时，${\displaystyle {\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\text{d}y}$不是绝对可积的（尽管对于其他任意一个$x$，${\displaystyle {\int }_{\mathbb{R}}f(x,y)\text{d}y}$都是绝对可积的））