19.3 绝对可积函数的积分 ​

定义 ​

1. （19.3.1 绝对可积函数）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$是可测子集。对于可测函数$f:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$，如果积分${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}|f|}$是有限的，那么我们称$f$是绝对可积的。

   （注：绝对可积函数也被称为$L^{-1}(\mathrm{\Omega })$函数；如果$f:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$，那么我们把它的正部$f^{+}:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$与负部$f^{-}:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$分别定义为：

   $$f^{+}:=max(f,0)f^{-}:=-min(f,0)$$

   根据推论18.5.6可知$f^{+}$与$f^{-}$都是可测的，并且显然$f^{+}$和$f^{-}$都是非负函数，同时有$f=f^{+}-f^{-}$与$|f|=f^{+}+f^{-}$成立）

2. （19.3.2 勒贝格积分）设$f:\mathrm{\Omega }\to {\mathbb{R}}^{\ast }$是一个绝对可积函数，我们把$f$的勒贝格积分${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f}$定义为

   $${\int }_{\mathrm{\Omega }}f={\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}$$

   （注：由于$f$是绝对可积的，因此由于${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}}$与${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}}$都小于等于${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}|f|}$，因此它们都是有限的，从而${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f}$也总是有限的，不会遇见$+\mathrm{\infty }-(+\mathrm{\infty })$这种不确定形式；关于勒贝格积分，我们还有一个常用的三角不等式，参见习题19.3.1）

3. （19.3.5 上勒贝格积分和下勒贝格积分）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的可测子集，并设$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$是一个函数（不一定是可测的）。我们把**上勒贝格积分${\displaystyle {\bar{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f}$**定义为：

   $${\bar{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f:=inf\{{\int }_{\mathrm{\Omega }}g:g:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}\mathrm{是}\mathrm{从}\mathrm{上}\mathrm{方}\mathrm{控}\mathrm{制}f\mathrm{的}\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{可}\mathrm{积}\mathrm{函}\mathrm{数}\}$$

   并把**下勒贝格积分${\displaystyle {\underset{―}{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f}$**定义为：

   $${\underset{―}{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f:=sup\{{\int }_{\mathrm{\Omega }}g:g:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}\mathrm{是}\mathrm{从}\mathrm{下}\mathrm{方}\mathrm{控}\mathrm{制}f\mathrm{的}\mathrm{绝}\mathrm{对}\mathrm{可}\mathrm{积}\mathrm{函}\mathrm{数}\}$$

   （注：容易看出${\displaystyle {\underset{―}{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f\le {\bar{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f}$。当$f$绝对可积时，等式成立，并且其逆命题也成立）

命题 ​

1. （19.3.3 勒贝格积分的性质？）设$\mathrm{\Omega }$是一个可测集，并设$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$和$g:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$都是绝对可积函数，那么有：

   1. 对于任意的实数$c$（正数、零或负数），$cf$是绝对可积的，并且${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}cf=c{\int }_{\mathrm{\Omega }}f}$。
   2. 函数$f+g$是绝对可积的，并且${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}(f+g)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f+{\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$。
   3. 如果对于所有的$x\in \mathrm{\Omega }$都有$f(x)\le g(x)$，那么${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$。
   4. 如果$f(x)=g(x)$几乎对于每一个$x\in \mathrm{\Omega }$都成立，那么${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f={\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$。

2. （19.3.4 勒贝格控制收敛定理）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的可测子集，并设$f_1,f_2,...$是一列从$\mathrm{\Omega }$到${\mathbb{R}}^{\ast }$的可测函数，而且这个函数序列是逐点收敛的。如果存在一个绝对可积函数$F:\mathrm{\Omega }\to [0,\mathrm{\infty }]$使得对于所有的$x\in \mathrm{\Omega }$和所有的$n=1,2,3,...$都有$|f_n(x)|\le F(x)$，那么：

   $${\int }_{\mathrm{\Omega }}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{\mathrm{\Omega }}f$$

   （注：在19.2节中提到过极限运算和积分运算的顺序不能随意交换，而勒贝格控制收敛定理给出了一个允许交换的条件，即只要存在一个从上方控制每一个函数$f_n$的绝对可积函数$F$，那么积分与极限运算的顺序交换就是合理的）

3. （19.3.6）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的可测子集，$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$是一个函数（不一定是可测的），并设$A$是一个实数。如果${\displaystyle {\bar{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f={\underset{―}{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f=A}$，那么$f$是绝对可积的，并且：

   $${\int }_{\mathrm{\Omega }}f={\bar{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f={\underset{―}{\int }}_{\mathrm{\Omega }}f=A$$

   （注：原书提到这个引理能给出一些有用的结果，但是压根没给出能证明哪些结果，emmm）

课后习题 ​

19.3.1 证明：只要$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的可测子集，并且$f$是绝对可积的函数，那么就有三角不等式： ​

根据勒贝格积分的定义，我们有：

$$\left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}f\right|=|{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}|\le \left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}\right|+\left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}\right|$$

由于$f^{+},f^{-}$都是非负可测函数，因此它们的积分也都是非负的，所以也即有：

$$\left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}\right|+\left|{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}\right|={\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}={\int }_{\mathrm{\Omega }}|f|$$

于是三角不等式得证。

19.3.2 证明命题19.3.3（提示：对于(b)，把$f$、$g$和$f+g$都分成正部与负部，利用引理19.2.10，试着只用非负函数的积分表示所有的量） ​

逐条证明：

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1. 对于任意的实数$c$（正数、零或负数），$cf$是绝对可积的，并且${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}cf=c{\int }_{\mathrm{\Omega }}f}$。

当$c=0$的时候结论是显然的，因此我们只需要考虑$c\ne 0$的情况。

若$c>0$，则此时注意到：

$$\begin{array}{c}(cf{)}^{+}=max(cf,0)=cmax(f,0)=c(f{)}^{+}\\ (cf{)}^{-}=-min(cf,0)=-cmin(f,0)=c(f{)}^{-}\end{array}$$

从而结合命题19.2.10有：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}cf={\int }_{\mathrm{\Omega }}(cf{)}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}(cf{)}^{-}=c({\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-})=c{\int }_{\mathrm{\Omega }}f$$

若$c<0$​，则此时注意到：

$$\begin{array}{c}(cf{)}^{+}=max(cf,0)=cmin(f,0)=(-c)(f{)}^{-}\\ (cf{)}^{-}=-min(cf,0)=cmax(f,0)=(-c)(f{)}^{+}\end{array}$$

从而结合命题19.2.10有：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}cf={\int }_{\mathrm{\Omega }}(cf{)}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}(cf{)}^{-}=(-c)({\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+})=c({\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-})=c{\int }_{\mathrm{\Omega }}f$$

于是结论得证。

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2. 函数$f+g$是绝对可积的，并且${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}(f+g)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f+{\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$。

注意到：

$$f+g=(f+g{)}^{+}-(f+g{)}^{-}=f^{+}+g^{+}-(f^{-}+g^{-})$$

做移项可以得到$(f+g{)}^{+}+f^{-}+g^{-}=(f+g{)}^{-}+f^{+}+g^{+}$，由于式子左右两端都是非负可测函数，因此利用引理19.2.10，对左右式取积分即有：

$$\begin{array}{c}{\int }_{\mathrm{\Omega }}(f+g{)}^{+}+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^{-}={\int }_{\mathrm{\Omega }}(f+g{)}^{-}+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^{+}\\ \Downarrow \\ {\int }_{\mathrm{\Omega }}(f+g{)}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}(f+g{)}^{-}=({\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-})+({\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^{-})\\ \Downarrow \\ {\int }_{\mathrm{\Omega }}(f+g)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f+{\int }_{\mathrm{\Omega }}g\end{array}$$

于是结论得证。

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3. 如果对于所有的$x\in \mathrm{\Omega }$都有$f(x)\le g(x)$，那么${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$。

由于对于所有的$x\in \mathrm{\Omega }$都有$f(x)\le g(x)$，因此我们也有：

$$\begin{array}{c}{g}^{+}(x)=max(g(x),0)\le max(f(x),0)=f^{+}(x)\\ f^{-}(x)=-min(f(x),0)\le -min(g(x),0)=g^{-}(x)\end{array}$$

从而根据命题19.2.6(c)，我们有${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}\ge {\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^{+}}$与${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^{-}}$：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}f={\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{f}^{-}\ge {\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^{+}-{\int }_{\mathrm{\Omega }}{g}^{-}={\int }_{\mathrm{\Omega }}g$$

于是结论得证。

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4. 如果$f(x)=g(x)$几乎对于每一个$x\in \mathrm{\Omega }$都成立，那么${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f={\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$。

根据结论(b)，应该有：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(f-g)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f-{\int }_{\mathrm{\Omega }}g$$

由于$f(x)=g(x)$几乎对每一个$x\in \mathrm{\Omega }$成立，因此也即有$(f-g)(x)=0$几乎对每一个$x\in \mathrm{\Omega }$都成立。从而根据命题19.2.6(a)有：

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}|f-g|=0$$

从而结合习题19.3.1的三角不等式，我们有${\displaystyle |{\int }_{\mathrm{\Omega }}(f-g)|\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}|f-g|=0⟹{\int }_{\mathrm{\Omega }}(f-g)=0}$，从而也即${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f={\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$得证。

19.3.3 设$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$和$g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$都是绝对可积函数，且对于所有的$x\in \mathbb{R}$都有$f(x)\le g(x)$，而且${\displaystyle {\int }_{\mathbb{R}}f={\int }_{\mathbb{R}}g}$。证明：$f(x)=g(x)$几乎对于每一个$x\in \mathbb{R}$都成立（即对于$\mathbb{R}$中除去一个测度为零的集合之外的每一点$x$，都有$f(x)=g(x)$） ​

于是我们有$g-f$显然是一个非负的可测函数，并且有：

$${\int }_{\mathbb{R}}(g-f)={\int }_{\mathbb{R}}g-{\int }_{\mathbb{R}}f=0$$

于是根据命题19.2.6(a)，我们有$(g-f)(x)=g(x)-f(x)=0$几乎对每一个$x\in \mathbb{R}$成立，也即有$f(x)=g(x)$几乎对于每一个$x\in \mathbb{R}$都成立，结论得证。

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实分析 18.5 可测函数

实分析 19.2 非负可测函数的积分