17.2 多元微积分中的导数 ​

摘录 ​

1. （从$1\to 1$到$n\to m$）在单变量微积分中，我们曾经给过一个函数$f:E\to \mathbb{R}$在$x_0\in E$处微分的定义，即：$$f^{\prime }(x_0):=\underset{x\to x_0;x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$基于我们以前的学习经历，我们也不妨从这个定义出发，尝试定义一个多变量函数$f:E\to {\mathbb{R}}^m$（其中$E\subseteq {\mathbb{R}}^n$）在$x_0\in E$处的导数为：$$f^{\prime }(x_0):=\underset{x\to x_0;x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$但是在这里我们遇到了困难，我们很难去定义一个$m$维向量除以一个$n$维向量到底要怎么解释，因此我们需要转变思路，我们将$f$在$x_0$处的可微性看为$f$在$x_0$附近的“近似于线性性质”的描述，基于这个前提展开本节的内容。

定义 ​

1. （17.2.2 可微性）设$E$是${\mathbb{R}}^n$的子集，$f:E\to {\mathbb{R}}^m$是一个函数，$x_0\in E$是一个点，并设$L:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是一个线性变换。如果有：

   $$\underset{x\to x_0;x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}}{lim}\frac{\Vert f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))\Vert }{\Vert x-x_0\Vert }=0$$

   其中$\Vert y\Vert$是$y$的长度（在$l^2$度量下），即：

   $$\Vert (y_1,y_2,...,y_n)\Vert ={\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right)}^{1/2}$$

   则我们称**$f$在$x_0$处是可微的**，并且导数为$L$。

   （注：使用原始定义去计算导数太过麻烦（原书有个例子），之后会用更好的方式去计算；如同一元微积分一样，我们也可以将$f$在$x_0$处的导数记为$f^{\prime }(x_0)$（这需要引理17.2.4去保证唯一性），于是$f^{\prime }(x_0)$是满足$f(x)-f(x_0)\approx f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$的线性变换（这也被称为牛顿近似，与命题10.1.7比较）；有时候我们称$f^{\prime }$为$f$的全导数（为了和后面的偏导数与方向导数区分），并且全导数$f^{\prime }$同导数矩阵$Df$有密切的联系，这个是下一节的内容了）

命题 ​

1. （17.2.2 可微性描述的改写？）设$E$是$\mathbb{R}$的子集，$f:E\to \mathbb{R}$是一个函数，且$x_0\in E$且$L\in \mathbb{R}$。那么下面这两个命题是等价的：

   1. $f$在$x_0$处是可微的，并且$f^{\prime }(x_0)=L$。
   2. ${\displaystyle \underset{x\to x_0;x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}}{lim}\frac{|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|}{|x-x_0|}=0}$。

   （注：这个等价关系相当于给出了近似式$f(x)-f(x_0)=L(x-x_0)$，这个定义看起来与微分差别不大，但是最注意到的是这个命题给出了不使用$x-x_0$作为除数，这样就规避了向量“除法”的问题。然后从这个等价定义出发，我们去思考找出如何有一个对应的$L$作用于$n$维向量$x-x_0$，使得$m$维向量$f(x)-f(x_0)$近似$L(x-x_0)$。从这个角度出发，我们不难想到$L$应该有一个线性变换的形式）

2. （17.2.4 导数的唯一性）设$E$是${\mathbb{R}}^n$的子集，$f:E\to {\mathbb{R}}^m$是一个函数，$x_0\in E$是一个点，并设$L_1:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$和$L_2:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$都是线性变换。如果$f$在$x_0$处可微，并且导数为$L_1$的同时还有导数为$L_2$，那么$L_1=L_2$。

   （注：需要注意的是这里强调了$x_0$是一个内点，这个结论在边界点上面并不一定，书里给了个很极端的单点集的例子）

课后习题 ​

17.2.1 证明引理17.2.1 ​

我们知道${\displaystyle \underset{x\to x_0;x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}}{lim}\frac{|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|}{|x-x_0|}=0}$即有：对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}$满足$|x-x_0|\le \delta$都有：

$$\frac{|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|}{|x-x_0|}\le \epsilon ⟺|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\le \epsilon |x-x_0|$$

而我们又注意到$x=x_0$处$|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\le \epsilon |x-x_0|$是显然成立的，与$f$和$\epsilon$无关。因此我们可以得到等价关系有：${\displaystyle \underset{x\to x_0;x\in E\mathtt{\text{}}\{x_0\}}{lim}\frac{|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|}{|x-x_0|}=0}$当且仅当对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in E$满足$|x-x_0|\le \delta$都有$|f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))|\le \epsilon |x-x_0|$。然后利用牛顿逼近法（命题10.1.7）我们就可以进一步得到这等价于$f$在$x_0$处的导数为$L$。

17.2.2 证明引理17.2.4（提示：利用反证法。如果$L_1\ne L_2$，那么存在一个向量$v$使得$L_{1}v\ne L_{2}v$，并且这个向量一定不是零向量。（为什么？）然后再利用导数的定义，专门考察$x=x_0+tv$（其中$t$时一个标量）时的情景来导出矛盾） ​

使用反证法，若$L_1\ne L_2$，那么至少存在一个$v\in {\mathbb{R}}^n$使得$L_{1}v\ne L_{2}v$。特别地，我们可以假定这个$v$不是零向量，这是因为：

由于$L_1,L_2$都是线性变换，若$v$是零向量，且对任意其它的$v^{\prime }\in {\mathbb{R}}^n$都有$L_1{v}^{\prime }=L_2{v}^{\prime }$。则我们任取$v_0\in {\mathbb{R}}^n$，根据线性变换的性质有：

$$L_1{v}_0=L_1(v_0+v)=L_1{v}_0+L_{1}v\ne L_2{v}_0+L_{2}v=L_2(v_0+v)=L_2{v}_0$$

导出了矛盾，因此除了零向量以外至少存在一个$v\in {\mathbb{R}}^n$满足$L_{1}v\ne L_{2}v$。

于是回到可微的定义。根据命题14.1.5，我们特别考虑收敛于$x_0$的点列${\displaystyle x_n:=x_0+\frac{c}{n}v}$（其中$n\ge 1$，$c$是一个足够小的正常数满足点列$x_n$包含于$E$，由于$x_0$是内点因此$c$是存在的），则由于$L_1,L_2$都是导数应当有极限：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\Vert f(x_n)-(f(x_0)+L_1(x_n-x_0))\Vert }{\Vert x_n-x_0\Vert }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\Vert f(x_n)-(f(x_0)+L_2(x_n-x_0))\Vert }{\Vert x_n-x_0\Vert }=0$$

也即：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\Vert f(x_0+\frac{c}{n}v)-f(x_0)-\frac{c}{n}{L}_{1}v\Vert }{\Vert \frac{c}{n}v\Vert }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\Vert f(x_0+\frac{c}{n}v)-f(x_0)-\frac{c}{n}{L}_{2}v\Vert }{\Vert \frac{c}{n}v\Vert }=0$$

再结合到$v$是一个确定的向量，$c$是一个常数，运用极限定律，我们可以化简为：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert nf(x_0+\frac{c}{n}v)-nf(x_0)-c{L}_{1}v\Vert =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\Vert nf(x_0+\frac{c}{n}v)-nf(x_0)-c{L}_{2}v\Vert =0$$

从而利用三角不等式，我们有：

$$\begin{array}{rl}& \Vert c{L}_{1}v-c{L}_{2}v\Vert \le \Vert c{L}_{1}v-nf(x_0+\frac{c}{n}v)+nf(x_0)\Vert +\Vert nf(x_0+\frac{c}{n}v)-nf(x_0)-c{L}_{2}v\Vert \\ ⟹& \Vert L_{1}v-L_{2}v\Vert =0\end{array}$$

这与$L_{1}v\ne L_{2}v$导出了矛盾，于是反证结束，反证假设不成立，只能有$L_1=L_2$。

17.2.3 设$E$是${\mathbb{R}}^n$的子集，$f:E\to {\mathbb{R}}^m$是一个函数，$x_0$是$E$的一个内点，并设$f_1,...,f_n:E\to {\mathbb{R}}^m$是$f$的分量函数（即$f=(f_1,...,f_m)$）。证明：$f$是在$x_0$处可微的当且仅当所有的分量函数$f_1,...,f_m$都是在$x_0$处可微的 ​

注：本题来自第四版勘误表，详情请参考Analysis II:Errata。

---

分别证明充分必要性。

若$f$在$x_0$处可微，那么存在一个线性变换$L:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$满足：对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in E-\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <\delta$有：

$$\frac{\Vert f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))\Vert }{\Vert x-x_0\Vert }<\epsilon$$

若我们设$L(x)=(L_1(x),...,L_m(x))$，则我们可以注意到对任意的$1\le i\le m$有：

$$|f_i(x)-(f_i(x_0)+L_i(x-x_0))|\le \Vert f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))\Vert$$

一个需要注意的事实：

$$f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))={\left(\begin{array}{c}{f}_1(x)-(f_1(x_0)+L_1(x-x_0))\\ ⋮\\ f_m(x)-(f_m(x_0)+L_m(x-x_0))\end{array}\right)}^T$$

这个事实给出了上面的不等式，并且在下面也会用到。（太长了请原谅我写成列向量的转置）

并且还可以注意到$L_i$显然是一个线性映射，因此这表明了：

存在线性映射$L_i:E\to \mathbb{R}$，对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in E-\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <\delta$有：

$$\frac{|f_i(x)-(f_i(x_0)+L_i(x-x_0))|}{\Vert x-x_0\Vert }<\epsilon$$

即$f_1,...,f_m$在$x_0$处都是可微的。

反过来，若$f_1,...,f_m$均在$x_0$处可微，我们分别设它们在$x_0$处的全导数为$L_1,...,L_m$。于是我们令$L(x):=(L_1(x),...,L_m(x))$，显然$L$也是一个线性映射。于是对任意的$\epsilon >0$，分别存在${\delta }_1,...,{\delta }_m>0$使得对任意的$1\le i\le m$有：

$$\frac{|f_i(x)-(f_i(x_0)+L_i(x-x_0))|}{\Vert x-x_0\Vert }<\frac{\epsilon }{m}$$

此时取$\delta :=min\{{\delta }_i:1\le i\le m\}$，从而对任意的我们有：

$$\frac{\Vert f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))\Vert }{\Vert x-x_0\Vert }\le \frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^m|f_i(x)-(f_i(x_0)+L_i(x-x_0))|}}{\Vert x-x_0\Vert }<\epsilon$$

综上即：

存在一个线性变换$L:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$使得对任意的$x\in E-\{x_0\}$满足$\Vert x-x_0\Vert <\delta$有：

$$\frac{\Vert f(x)-(f(x_0)+L(x-x_0))\Vert }{\Vert x-x_0\Vert }<\epsilon$$

即$f$在$x_0$处可微的。

综上，于是结论得证。

本节相关跳转 ​

实分析 10.1 基本定义

实分析 17.3 偏导数和方向导数