实分析

14.5 函数级数与魏尔斯特拉斯M判别法

摘录

  1. (实值函数?)我们称值域为R的函数为实值函数

    (注:考察实值函数事实上是一个相当朴素的想法,因为在实数集上我们已经定义了相当多的运算,而这样的运算并非是在任意的度量空间上都能找到的,例如下面我们将要提到的函数级数)

  2. (有限和?)f(1)...f(N)是给定的任意有限多个从XR的函数,我们定义它们的有限和i=1Nf(i)为:

    (i=1Nf(i))(x):=i=1Nf(i)(x)

    (注:和有限级数的内容很相似,并且我们很容易证明,有界函数的有限和是有界的,连续函数的有限和是连续的)


定义

  1. (14.5.2 无限级数)(X,dX)是一个度量空间,(f(n))n=1是从XR的函数序列,并设f是从XR的函数。当N时,如果部分和n=1Nf(i)X上逐点收敛于f,那么我们称无限级数n=1f(n)逐点收敛于f,并记有f=n=1f(n);如果部分和n=1Nf(n)X上一致收敛于f,那么我们称无限级数n=1f(n)一致收敛于f,并同样记有f=n=1f(n)

    (注:当出现f=i=nf(n)的表述的时候需要分辨具体是那种收敛;如果n=1f(n)不逐点收敛于f也不能说明它就是逐点发散的,它有可能在部分xX处收敛于f;其实我觉得这个定义完全可以不用说X是度量空间的,可以稍微扩宽一下,毕竟一致收敛和逐点收敛事实上都不依赖于定义域的数学结构(度量或者拓扑))

  2. (14.5.5 上确界范数)如果f:XR是一个有界实值函数,那么我们定义f上确界范数f为:

    f:=sup{|f(x)|:xX}

    换言之即f=d(f,0),其中0:XR是零函数0(x):=0


命题

  1. (14.5.7 魏尔斯特拉斯M判别法)(X,dX)是一个度量空间,(f(n))n=1是从X上使得级数n=1f(n)收敛有界连续函数序列。那么,级数n=1f(n)是在X上一致收敛于某个连续函数f的。

    (注:魏尔斯特拉斯M判别法可以简述为:上确界范数的绝对收敛蕴含着函数级数的一致收敛;魏尔斯特拉斯M判别法在处理幂级数的时候会经常用到,这都是15章的后话了)


课后习题

14.5.1 设f(1)...f(N)是从度量空间(X,dX)R的有界函数的有限序列。证明:i=1Nf(i)也是有界的,并且证明将“有界”替换成“连续”后的类似结论。讨论:如果把“连续”替换成“一致连续”,情况又如何

证明:设f(1)...f(N)是从度量空间(X,dX)R的有界函数的有限序列,那么i=1Nf(i)也是有界的。

于是根据有界性的定义,对任意的1iN都存在Mi>0使得f(i)(X)[Mi,Mi]。于是我们令有M:=i=1NMi。于是对任意的xX都有:

i=1NMi(i=1Nf(i))(x)=i=1Nf(i)(x)i=1NMi

于是即(i=1Nf(i))(X)[M,M],从而i=1Nf(i)也是有界的。


证明:设f(1)...f(N)是从度量空间(X,dX)R的连续函数的有限序列,那么i=1Nf(i)也是连续的。

考虑任意的ε>0,由于f(1)...f(N)是从连续函数的有限序列,于是对任意1iN与任意的x0X都存在δi>0使得对任意x满足dX(x,x0)<δi就有|f(i)(x)f(i)(x0)|<ε/N。从而令δ:=min{δi:1iN},然后对任意x满足dX(x,x0)<δ都有:

|(i=1Nf(i))(x)(i=1Nf(i))(x0)|=|i=1Nf(i)(x)i=1Nf(i)(x0)|=|i=1N(f(i)(x)f(i)(x0))|i=1N|f(i)(x)f(i)(x0)|<ε

从而i=1Nf(i)在任意的x0X处都是连续的,换言之即i=1Nf(i)X上连续(也即是连续的)。


如果把“连续”替换成“一致连续”,结论也是成立的,我们来证明这个结论:

证明:设f(1)...f(N)是从度量空间(X,dX)R的一致连续函数的有限序列,那么i=1Nf(i)也是一致连续的。

考虑任意的ε>0,由于f(1)...f(N)是从连续函数的有限序列,于是对任意1iN都有存在δi>0使得只要xxX满足dX(x,x)<δi,就有|f(i)(x)f(i)(x0)|<ε/N。从而令δ:=min{δi:1iN},然后对任意x满足dX(x,x0)<δ都有:

|(i=1Nf(i))(x)(i=1Nf(i))(x0)|=|i=1Nf(i)(x)i=1Nf(i)(x0)|=|i=1N(f(i)(x)f(i)(x0))|i=1N|f(i)(x)f(i)(x0)|<ε

从即i=1Nf(i)X上是一致连续的(也即是一致连续的)。

14.5.2 证明定理14.5.7(提示:首先证明序列i=1Nf(i)C(XR)中的柯西序列,然后利用定理14.4.5

由于级数n=1f(n)收敛,因此根据命题7.2.5,对任意的ε>0都存在一个N>0使得对任意的pqN都有:

|n=pqf(n)|<εf(n)0n=pqf(n)<ε

然后注意到,对任意的ijN,我们有:

d(k=1if(k),k=1jf(k))=supxX|k=1if(k)(x)k=1jf(k)(x)|=supxX|k=min(i,j)max(i,j)f(k)(x)|supxX(k=min(i,j)max(i,j)|f(k)(x)|)supxXk=min(i,j)max(i,j)f(k)=k=min(i,j)max(i,j)f(k)

倒数第二步利用了f(k)|f(k)(x)|(也就是上确界的性质)。而注意到由于ijN因此必然有min(i,j)max(i,j)N。于是根据前面所述内容即有d(k=1if(k),k=1jf(k))<ε。综合下我们的讨论即:

对任意的ε>0,存在一个N>0使得对任意的ijN都有d(k=1if(k),k=1jf(k))<ε

于是根据柯西序列的定义(定义12.4.6)我们证明了(k=1Nf(k))N=1是一个柯西序列(在带有L度量的空间B(XR)下),并且注意到由于(f(n))n=1是有界连续函数序列,因此根据习题14.5.1对任意的N>0部分和k=1Nf(k)都是有界连续函数,从而序列(k=1Nf(k))N=1也是空间C(XR)中的序列。结合R的完备性与定理14.4.5,于是我们可以得到(k=1Nf(k))N=1收敛于某个有界连续的函数f:XRC(XR)


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实分析 7.1 有限级数

实分析 14.4 一致收敛的度量