14.5 函数级数与魏尔斯特拉斯M判别法 ​

摘录 ​

1. （实值函数？）我们称值域为$\mathbb{R}$的函数为实值函数。

   （注：考察实值函数事实上是一个相当朴素的想法，因为在实数集上我们已经定义了相当多的运算，而这样的运算并非是在任意的度量空间上都能找到的，例如下面我们将要提到的函数级数）

2. （有限和？）设$f^{(1)}$，$...$，$f^{(N)}$是给定的任意有限多个从$X$到$\mathbb{R}$的函数，我们定义它们的有限和${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$为：

   $$\left(\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}\right)(x):=\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}(x)$$

   （注：和有限级数的内容很相似，并且我们很容易证明，有界函数的有限和是有界的，连续函数的有限和是连续的）

定义 ​

1. （14.5.2 无限级数）设$(X,d_X)$是一个度量空间，$(f^{(n)}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是从$X$到$\mathbb{R}$的函数序列，并设$f$是从$X$到$\mathbb{R}$的函数。当$N\to \mathrm{\infty }$时，如果部分和${\displaystyle \sum _{n=1}^N{f}^{(i)}}$在$X$上逐点收敛于$f$，那么我们称无限级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}}$逐点收敛于$f$，并记有${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}}$；如果部分和${\displaystyle \sum _{n=1}^N{f}^{(n)}}$在$X$上一致收敛于$f$，那么我们称无限级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}}$一致收敛于$f$，并同样记有${\displaystyle f=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}}$。

   （注：当出现${\displaystyle f=\sum _{i=n}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}}$的表述的时候需要分辨具体是那种收敛；如果${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}}$不逐点收敛于$f$也不能说明它就是逐点发散的，它有可能在部分$x\in X$处收敛于$f$；其实我觉得这个定义完全可以不用说$X$是度量空间的，可以稍微扩宽一下，毕竟一致收敛和逐点收敛事实上都不依赖于定义域的数学结构（度量或者拓扑））

2. （14.5.5 上确界范数）如果$f:X\to \mathbb{R}$是一个有界实值函数，那么我们定义$f$的上确界范数$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$为：

   $$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=sup\{|f(x)|:x\in X\}$$

   换言之即$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=d_{\mathrm{\infty }}(f,0)$，其中$0:X\to \mathbb{R}$是零函数$0(x):=0$。

命题 ​

1. （14.5.7 魏尔斯特拉斯M判别法）设$(X,d_X)$是一个度量空间，$(f^{(n)}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是从$X$上使得级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert f^{(n)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}$收敛有界连续函数序列。那么，级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}^{(n)}}$是在$X$上一致收敛于某个连续函数$f$的。

   （注：魏尔斯特拉斯M判别法可以简述为：上确界范数的绝对收敛蕴含着函数级数的一致收敛；魏尔斯特拉斯M判别法在处理幂级数的时候会经常用到，这都是15章的后话了）

课后习题 ​

14.5.1 设$f^{(1)}$，$...$，$f^{(N)}$是从度量空间$(X,d_X)$到$\mathbb{R}$的有界函数的有限序列。证明：${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$也是有界的，并且证明将“有界”替换成“连续”后的类似结论。讨论：如果把“连续”替换成“一致连续”，情况又如何 ​

证明：设$f^{(1)}$，$...$，$f^{(N)}$是从度量空间$(X,d_X)$到$\mathbb{R}$的有界函数的有限序列，那么${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$也是有界的。

于是根据有界性的定义，对任意的$1\le i\le N$都存在$M_i>0$使得$f^{(i)}(X)\subseteq [-M_i,M_i]$。于是我们令有${\displaystyle M:=\sum _{i=1}^N{M}_i}$。于是对任意的$x\in X$都有：

$$-\sum _{i=1}^N{M}_i\le \left(\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}\right)(x)=\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}(x)\le \sum _{i=1}^N{M}_i$$

于是即${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}\right)(X)\subseteq [-M,M]}$，从而${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$也是有界的。

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证明：设$f^{(1)}$，$...$，$f^{(N)}$是从度量空间$(X,d_X)$到$\mathbb{R}$的连续函数的有限序列，那么${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$也是连续的。

考虑任意的$\epsilon >0$，由于$f^{(1)}$，$...$，$f^{(N)}$是从连续函数的有限序列，于是对任意$1\le i\le N$与任意的$x_0\in X$都存在${\delta }_i>0$使得对任意$x$满足$d_X(x,x_0)<{\delta }_i$就有$|f^{(i)}(x)-f^{(i)}(x_0)|<\epsilon /N$。从而令$\delta :=min\{{\delta }_i:1\le i\le N\}$，然后对任意$x$满足$d_X(x,x_0)<\delta$都有：

$$\begin{array}{rl}& |\left(\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}\right)(x)-\left(\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}\right)(x_0)|\\ =& |\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}(x)-\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}(x_0)|\\ =& |\sum _{i=1}^N(f^{(i)}(x)-f^{(i)}(x_0))|\\ \le & \sum _{i=1}^N|f^{(i)}(x)-f^{(i)}(x_0)|\\ <& \epsilon \end{array}$$

从而${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$在任意的$x_0\in X$处都是连续的，换言之即${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$在$X$上连续（也即是连续的）。

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如果把“连续”替换成“一致连续”，结论也是成立的，我们来证明这个结论：

证明：设$f^{(1)}$，$...$，$f^{(N)}$是从度量空间$(X,d_X)$到$\mathbb{R}$的一致连续函数的有限序列，那么${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$也是一致连续的。

考虑任意的$\epsilon >0$，由于$f^{(1)}$，$...$，$f^{(N)}$是从连续函数的有限序列，于是对任意$1\le i\le N$都有存在${\delta }_i>0$使得只要$x$，$x^{\prime }\in X$满足$d_X(x,x^{\prime })<{\delta }_i$，就有$|f^{(i)}(x)-f^{(i)}(x_0)|<\epsilon /N$。从而令$\delta :=min\{{\delta }_i:1\le i\le N\}$，然后对任意$x$满足$d_X(x,x_0)<\delta$都有：

$$\begin{array}{rl}& |\left(\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}\right)(x)-\left(\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}\right)(x_0)|\\ =& |\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}(x)-\sum _{i=1}^N{f}^{(i)}(x_0)|\\ =& |\sum _{i=1}^N(f^{(i)}(x)-f^{(i)}(x_0))|\\ \le & \sum _{i=1}^N|f^{(i)}(x)-f^{(i)}(x_0)|\\ <& \epsilon \end{array}$$

从即${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$在$X$上是一致连续的（也即是一致连续的）。

14.5.2 证明定理14.5.7（提示：首先证明序列${\displaystyle \sum _{i=1}^N{f}^{(i)}}$是$C(X\to \mathbb{R})$中的柯西序列，然后利用定理14.4.5） ​

由于级数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert f^{(n)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}}$收敛，因此根据命题7.2.5，对任意的$\epsilon >0$都存在一个$N>0$使得对任意的$p$，$q\ge N$都有：

$$|\sum _{n=p}^q\Vert f^{(n)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}|<\epsilon \stackrel{\Vert f^{(n)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\ge 0}{\Rightarrow }\sum _{n=p}^q\Vert f^{(n)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\epsilon$$

然后注意到，对任意的$i$，$j\ge N$，我们有：

$$\begin{array}{rl}{d}_{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=1}^i{f}^{(k)},\sum _{k=1}^j{f}^{(k)})& =\underset{x\in X}{sup}|\sum _{k=1}^i{f}^{(k)}(x)-\sum _{k=1}^j{f}^{(k)}(x)|\\ & =\underset{x\in X}{sup}|\sum _{k=min(i,j)}^{max(i,j)}{f}^{(k)}(x)|\\ & \le \underset{x\in X}{sup}(\sum _{k=min(i,j)}^{max(i,j)}|f^{(k)}(x)|)\\ & \le \underset{x\in X}{sup}\sum _{k=min(i,j)}^{max(i,j)}\Vert f^{(k)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\\ & =\sum _{k=min(i,j)}^{max(i,j)}\Vert f^{(k)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

倒数第二步利用了$\Vert f^{(k)}{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\ge |f^{(k)}(x)|$（也就是上确界的性质）。而注意到由于$i$，$j\ge N$因此必然有$min(i,j)$，$max(i,j)\ge N$。于是根据前面所述内容即有${\displaystyle d_{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=1}^i{f}^{(k)},\sum _{k=1}^j{f}^{(k)})<\epsilon }$。综合下我们的讨论即：

对任意的$\epsilon >0$，存在一个$N>0$使得对任意的$i$，$j\ge N$都有${\displaystyle d_{\mathrm{\infty }}(\sum _{k=1}^i{f}^{(k)},\sum _{k=1}^j{f}^{(k)})<\epsilon }$。

于是根据柯西序列的定义（定义12.4.6）我们证明了${\displaystyle {\left(\sum _{k=1}^N{f}^{(k)}\right)}_{N=1}^{\mathrm{\infty }}}$是一个柯西序列（在带有$L^{\mathrm{\infty }}$度量的空间$B(X\to \mathbb{R})$下），并且注意到由于$(f^{(n)}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是有界连续函数序列，因此根据习题14.5.1对任意的$N>0$部分和${\displaystyle \sum _{k=1}^N{f}^{(k)}}$都是有界连续函数，从而序列${\displaystyle {\left(\sum _{k=1}^N{f}^{(k)}\right)}_{N=1}^{\mathrm{\infty }}}$也是空间$C(X\to \mathbb{R})$中的序列。结合$\mathbb{R}$的完备性与定理14.4.5，于是我们可以得到${\displaystyle {\left(\sum _{k=1}^N{f}^{(k)}\right)}_{N=1}^{\mathrm{\infty }}}$收敛于某个有界连续的函数$f:X\to \mathbb{R}\in C(X\to \mathbb{R})$。

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实分析 7.1 有限级数

实分析 14.4 一致收敛的度量