14.5 函数级数与魏尔斯特拉斯M判别法
摘录
(实值函数?)我们称值域为
的函数为实值函数。 (注:考察实值函数事实上是一个相当朴素的想法,因为在实数集上我们已经定义了相当多的运算,而这样的运算并非是在任意的度量空间上都能找到的,例如下面我们将要提到的函数级数)
(有限和?)设
, , 是给定的任意有限多个从 到 的函数,我们定义它们的有限和 为: (注:和有限级数的内容很相似,并且我们很容易证明,有界函数的有限和是有界的,连续函数的有限和是连续的)
定义
(14.5.2 无限级数)设
是一个度量空间, 是从 到 的函数序列,并设 是从 到 的函数。当 时,如果部分和 在 上逐点收敛于 ,那么我们称无限级数 逐点收敛于 ,并记有 ;如果部分和 在 上一致收敛于 ,那么我们称无限级数 一致收敛于 ,并同样记有 。 (注:当出现
的表述的时候需要分辨具体是那种收敛;如果 不逐点收敛于 也不能说明它就是逐点发散的,它有可能在部分 处收敛于 ;其实我觉得这个定义完全可以不用说 是度量空间的,可以稍微扩宽一下,毕竟一致收敛和逐点收敛事实上都不依赖于定义域的数学结构(度量或者拓扑)) (14.5.5 上确界范数)如果
是一个有界实值函数,那么我们定义 的上确界范数 为: 换言之即
,其中 是零函数 。
命题
(14.5.7 魏尔斯特拉斯M判别法)设
是一个度量空间, 是从 上使得级数 收敛有界连续函数序列。那么,级数 是在 上一致收敛于某个连续函数 的。 (注:魏尔斯特拉斯M判别法可以简述为:上确界范数的绝对收敛蕴含着函数级数的一致收敛;魏尔斯特拉斯M判别法在处理幂级数的时候会经常用到,这都是15章的后话了)
课后习题
14.5.1 设 , , 是从度量空间 到 的有界函数的有限序列。证明: 也是有界的,并且证明将“有界”替换成“连续”后的类似结论。讨论:如果把“连续”替换成“一致连续”,情况又如何
证明:设
, , 是从度量空间 到 的有界函数的有限序列,那么 也是有界的。 于是根据有界性的定义,对任意的
都存在 使得 。于是我们令有 。于是对任意的 都有: 于是即
,从而 也是有界的。 证明:设
, , 是从度量空间 到 的连续函数的有限序列,那么 也是连续的。 考虑任意的
,由于 , , 是从连续函数的有限序列,于是对任意 与任意的 都存在 使得对任意 满足 就有 。从而令 ,然后对任意 满足 都有: 从而
在任意的 处都是连续的,换言之即 在 上连续(也即是连续的)。 如果把“连续”替换成“一致连续”,结论也是成立的,我们来证明这个结论:
证明:设
, , 是从度量空间 到 的一致连续函数的有限序列,那么 也是一致连续的。 考虑任意的
,由于 , , 是从连续函数的有限序列,于是对任意 都有存在 使得只要 , 满足 ,就有 。从而令 ,然后对任意 满足 都有: 从即
在 上是一致连续的(也即是一致连续的)。
14.5.2 证明定理14.5.7(提示:首先证明序列 是 中的柯西序列,然后利用定理14.4.5)
由于级数
收敛,因此根据命题7.2.5,对任意的 都存在一个 使得对任意的 , 都有: 然后注意到,对任意的
, ,我们有: 倒数第二步利用了
(也就是上确界的性质)。而注意到由于 , 因此必然有 , 。于是根据前面所述内容即有 。综合下我们的讨论即: 对任意的
,存在一个 使得对任意的 , 都有 。 于是根据柯西序列的定义(定义12.4.6)我们证明了
是一个柯西序列(在带有 度量的空间 下),并且注意到由于 是有界连续函数序列,因此根据习题14.5.1对任意的 部分和 都是有界连续函数,从而序列 也是空间 中的序列。结合 的完备性与定理14.4.5,于是我们可以得到 收敛于某个有界连续的函数 。