12.2 度量空间中的一些点集拓扑知识 ​

定义 ​

1. （12.2.1 球）设$(X,d)$是一个度量空间，$x_0$是$X$中的一个点，并设$r>0$。我们将$X$中依度量$d$以$x_0$为中心，半径等于$r$的球$B_{(X,d)}(x_0,r)$定义为集合：

   $$B_{(X,d)}(x_0,r):=\{x\in X:d(x,x_0)<r\}$$

   如果我们能清楚的知道度量空间$(X,d)$是什么，那么也可以将$B_{(X,d)}(x_0,r)$简记为$B(x_0,r)$。

   （注：考虑平面集上的几何直观或许有助于理解度量球的概念，例如在二维欧几里得空间${\mathbb{R}}^2$中，球$B_{({\mathbb{R}}^2,d_{l^2})}((0,0),1)$是一个开圆盘；如果将度量替换为出租测度量，那么$B_{({\mathbb{R}}^2,d_{l^1})}((0,0),1)$是一个正方形；如果使用离散度量，那么球$B_{({\mathbb{R}}^2,d_{\text{disc}})}((0,0),1)$是一个单点集，而球$B_{({\mathbb{R}}^2,d_{\text{disc}})}((0,0),2)$是整个空间${\mathbb{R}}^2$；也有些不那么几何直观的球，例如在具有通常度量$d$的度量空间$\mathbb{R}$中，区间$(3,7)$就是球$B_{(\mathbb{R},d)}(5,2)$）

2. （12.2.5 内点，外点和边界点）设$(X,d)$是一个度量空间，$E$是$X$的一个子集，并且设$x_0$是$X$中的一个点。如果能找到一个半径$r>0$的球$B(x_0,r)\subseteq E$，那么我们称$x_0$是$E$的内点；如果能找到一个半径$r>0$的球$B(x_0,r)\cap E=\varnothing$，那么我们称$x_0$是$E$的外点；如果$x_0$既不是$E$的内点也不是$E$的外点，那么我们称$x_0$是$E$的边界点。

   ​ 此外，我们称$E$的所有内点所构成的集合叫做$E$的内部，有时记为$\text{int}(E)$；$E$的所有外点所构成的集合叫做$E$的外部，有时记为$\text{ext}(E)$；$E$的所有边界点所构成的集合叫做$E$的边界，有时记为$\partial E$。

   （注：如果$x_0$是$E$的内点，那么$x_0$肯定是$E$中的元素；如果$x_0$是$E$的外点，那么$x_0$肯定不是$E$中的元素。因此$x_0$不可能既是$E$的内点又是$E$的外点。如果$x_0$是$E$的边界点，那么不能直接判断$x_0$是不是$E$中的元素，并且边界点也并非总是存在的，例如习题12.2.1中的例子）

3. （12.2.9 闭包）设$(X,d)$是一个度量空间，$E$是$X$的一个子集，并且设$x_0$是$X$中的一个点。如果对任意的半径$r>0$，球$B(x_0,r)$与$E$的交集总是非空的，那么我们称$x_0$是$E$的附着点。$E$的全体附着点构成的集合称为$E$的闭包，并记为$\bar{E}$。

   （注：这些概念同我们曾经在实直线上定义的概念（定义9.1.8与定义9.1.10）是一致的，不妨想想为什么）

4. （12.2.12 开集和闭集）设$(X,d)$是一个度量空间，并且设$E$是$X$的一个子集。如果$E$包含了自身所有的边界点，也即$\partial E\subseteq E$，那么我们称$E$是闭的；如果$E$不包含自身任何的边界点，也即$\partial E\cap E=\varnothing$，那么我们称$E$是开的；如果$E$包含了部分自身的边界点而不包含其余边界点，那么$E$是既不是开的也不是闭的。

   （注：如果一个集合没有边界，那么它就同时是开的或者闭的。在很多的情形下对度量空间$(X,d)$，$X$和$\varnothing$都是唯二既开又闭的集合，但是也有例外，例如在离散度量下所有的集合都是既开又闭的）

命题 ​

1. （12.2.10）设$(X,d)$是一个度量空间，$E$是$X$的一个子集，并且设$x_0$是$X$中的一个点。那么下面的命题在逻辑上是等价的：

   1. $x_0$是$E$的附着点。
   2. $x_0$要么是$E$的内点，要么是$E$的边界点。
   3. 在$E$中能够找到一个依度量$d$收敛于点$x_0$的序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$。

   （注：由于前两条命题等价，于是我们可以推出一个关于闭包的有用结论，也就是推论12.2.11）

   推论：

   1. （12.2.11）设$(X,d)$是一个度量空间，并且设$E$是$X$的一个子集。那么有$\bar{E}=\text{int}(E)\cup \partial E=X\mathtt{\text{}}\text{ext}$成立。

2. （12.2.15 开集和闭集的基本性质）设$(X,d)$是一个度量空间。

   1. 设$E$是$X$的一个子集，那么$E$是开的，当且仅当$E=\text{int}(E)$，换言之，$E$是开的，当且仅当对任意的$x\in E$，存在一个$r>0$使得$B(x,r)\subseteq E$。
   2. 设$E$是$X$的一个子集，那么$E$是闭的，当且仅当$E$包含了自身所有的附着点，换言之，$E$是闭的，当且仅当对于$E$中的任意一个收敛序列$(x_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$，都有${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$属于$E$。
   3. 对于任意的$x_0\in X$和$r_0>0$，球$B(x_0,r_0)$都是开集，集合$\{x\in X:d(x,x_0)\le r_0\}$是闭集（这个集合有时候被称为以$x_0$为中心，半径为$r$的闭球）。
   4. 任何一个单点集$\{x_0\}$都是闭的，其中$x_0\in X$。
   5. 如果$E$是$X$的一个子集，那么$E$是开的，当且仅当它的补集$X\mathtt{\text{}}E:=\{x\in X:x\notin E\}$是闭的。
   6. 如果$E_1$，$E_2$，$...$，$E_n$是$X$中的有限个开集，那么$E_1\cap E_2\cap ...\cap E_n$也是开的；如果$E_1$，$E_2$，$...$，$E_n$是$X$中的有限个闭集，那么$E_1\cup E_2\cup ...\cup E_n$也是闭的。
   7. 如果$\{E_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇开集（这里的指标集没有限制，可以是无限的或者有限的），那么并集${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$也是开的；如果$\{E_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇闭集，那么交集${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$也是闭的。
   8. 如果$E$是$X$的任意一个子集，那么$\text{int}(E)$是包含在$E$中的最大开集。换言之，$\text{int}(E)$是开集，并且对任意给定的其它开集$V\subseteq E$均有$V\subseteq \text{int}(E)$；类似地，$\bar{E}$是包含$E$中的最小闭集。换言之，$\bar{E}$是闭集，并且对任意给定的其它闭集$K\supseteq E$均有$K\supseteq \bar{E}$。

课后习题 ​

12.2.1 证明例12.2.8中的结论 ​

例12.2.8：

如果集合$X$具有离散度量，并设$E$是$X$的任意一个子集，那么$E$中的每一个元素都是$E$的内点；任何不包含在$E$中的点都是$E$的外点，并且$E$没有边界点。

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注意到对任意的$e\in E$，球$B(e,0.5)=\{e\}$，从而有$B(e,0.5)\subseteq E$。于是根据定义12.2.5有$e$是$E$的一个内点。

然后对任意的$x\in X\mathtt{\text{}}E$，球$B(x,0.5)=\{x\}$，从而有$B(x,0.5)\cap E=\varnothing$。于是根据定义12.2.5有$x$是$E$的一个外点。

然后根据上面的讨论我们知道对任意$x\in X$，若有$x\in E$则$x$是$E$的一个内点；$x\notin E$则$x$是$E$的一个外点。于是不存在$x\in X$既不是$E$的内点也不是$E$的外点，根据定义12.2.5有$E$不存在边界点。

12.2.2 证明命题12.2.10（提示：对某些蕴含关系的证明需要用到选择公理，就像在引理8.4.5的证明中那样） ​

我们先证明(a)等价于(b)，然后再证明(a)等价于(c)，从而三个命题在逻辑上都是等价的。

• 证明：$x_0$是$E$的附着点，当且仅当$x_0$要么是$E$的内点，要么是$E$的边界点。

若$x_0$是$E$的附着点，则根据定义12.2.9有对任意的半径$r>0$，球$B(x_0,r)$与$E$的交集总是非空的。因此根据定义12.2.5，$x$肯定不是$E$的外点（不存在$r>0$使得$B(x_0,r)$与$E$的交集为空）。又因为定义12.2.5我们知道$x_0$只可能是$E$的内点，外点，边界点（不是内点也不是外点）中的一个，因此只能有$x_0$要么是$E$的内点，要么是$E$的边界点。

反过来，若$x_0$要么是$E$的内点，要么是$E$的边界点，则$x_0$肯定不是$E$的外点，于是根据定义12.2.5应当有不存在$r>0$使得$B(x_0,r)$与$E$的交集为空，换言之即对任意的$r>0$都有$B(x_0,r)\cap E\ne \varnothing$，于是根据定义12.2.9即有$x_0$是$E$的附着点。

综上，$x_0$是$E$的附着点，当且仅当$x_0$要么是$E$的内点，要么是$E$的边界点。

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• 证明：$x_0$是$E$的附着点，当且仅当在$E$中能够找到一个依度量$d$收敛于点$x_0$的序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$。

若$x_0$是$E$的附着点，则根据定义12.2.9对任意的半径$r>0$都有$B(x_0,r)\cap E\ne \varnothing$。于是考虑指标集${\displaystyle I:=\{n\in \mathbb{N}:n\ne 0\}}$，然后对任意的$\alpha \in I$令有：

$$A_{\alpha }=B(x_0,\frac{1}{\alpha })\cap E$$

由上面的讨论我们知道对任意的$\alpha \in I$都有$A_{\alpha }$是非空的，根据选择公理我们能为每个$I$中自然数$\alpha \ge 1$都制定了一个$x_{\alpha }\in A_{\alpha }$，于是可以组成一个序列$(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$（也就是序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$，根据$A_n$的定义我们显然有序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是完全由$E$中元素组成的）。然后我们对序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$讨论：

注意到对任意的实数$\epsilon >0$，根据阿基米德原理都存在一个自然数$N\ge 1$使得${\displaystyle \epsilon >\frac{1}{N}}$，于是对任意的$n\ge N$，根据$A_n$的定义我们有：

$$x_n\in B(x_0,\frac{1}{n})\cap E⟹d(x_n,x_0)<\frac{1}{n}$$

又因为${\displaystyle \frac{1}{n}\le \frac{1}{N}<\epsilon }$，于是结合度量的始终大于$0$即可以推知对任意$n\ge N$都有$|d(x_n,x_0)|<\epsilon$，从而根据实数序列收敛的定义我们可以得到${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,x_0)=0}$，再根据定义12.1.14我们有$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$依度量$d$收敛于点$x_0$，于是也即在$E$中能够找到一个依度量$d$收敛于点$x_0$的序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$。

反过来，若在$E$中能够找到一个依度量$d$收敛于点$x_0$的序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$，则根据定义12.1.14我们有${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_n,x_0)=0}$，于是对任意的实数$r>0$都存在一个自然数$N\ge 1$使得对任意的$n\ge N$都有$d(x_n,x_0)<\epsilon$，也即有${\displaystyle x_n\in B(x_0,r)\cap E}$。于是在上面的讨论中得证了对任意的$r>0$都有球$B(x_0,r)$与$E$的交集非空，于是根据定义12.2.9有$x_0$是$E$的一个附着点。

综上，$x_0$是$E$的附着点，当且仅当在$E$中能够找到一个依度量$d$收敛于点$x_0$的序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$。

12.2.3 证明命题12.2.15（提示：可以使用前面的部分证明后面的部分） ​

先证明几个用得上的辅助结论：

辅助结论：对任意的$E$是$X$的与任意的$x\in X$，$x$恰好是$E$的内点，外点，或者边界点中的一种。从而$E$的外部，内部与边界凉凉不相交并且有$\text{int}(E)\cup \text{ext}(E)\cup \partial E=X$。

证明：

首先根据定义12.2.5，如果$x$是$E$的边界点，那么$x$不是$E$的内点或者外点；若$x$是$E$的内点，则存在$r>0$使得$B(x,r)\subseteq E$，从而有$x\in E$；若$x$是$E$的外点，则存在$r>0$使得$B(x,r)\cap E=\varnothing$，于是$x\notin E$。从而$x$不可能既是$E$的内点又是$E$的外点。于是综合即有$x$至多能分类到这三种中的一种。

另一方面，$x$必然属于$E$的内点，外点，或者边界点中的一个，因为若$x$不是$E$的内点或外点则根据定义12.2.5$x$是$E$的边界点，于是$x$总能分类到这三种中的至少一种。

综上，于是$x$恰好是$E$的内点，外点，或者边界点中的一种。

（其实这个结论在定义12.2.5几乎是直接显现的，不过仍然在此简要说明）

然后我们逐条证明：

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1. 设$E$是一个$X$的子集，那么$E$是开的，当且仅当$E=\text{int}(E)$，换言之，$E$是开的，当且仅当对任意的$x\in E$，存在一个$r>0$使得$B(x,r)\subseteq E$。

若$E$是开的，则对任意$e\in E$，根据定义12.2.12有$e$不是$E$的边界点，然后根据辅助结论证明中的讨论$e$也不能是$E$的外点，于是根据辅助结论$e$只能是$E$的内点，从而$E\subseteq \text{int}(E)$；另一方面，在辅助结论的证明我们也得到了对任意$e$是$E$的内点都有$e\in E$，于是有$\text{int}(E)\subseteq E$，综合即有$E=\text{int}(E)$。

反过来，若$E=\text{int}(E)$，于是根据辅助结论有$E\cap \partial E=\text{int}(E)\cap \partial E=\varnothing$，根据定义12.2.12即$E$是开的。

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2. 设$E$是一个$X$的子集，那么$E$是闭的，当且仅当$E$包含了自身所有的附着点，换言之，$E$是闭的，当且仅当对于$E$中的任意一个收敛序列$(x_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$，都有${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$属于$E$。

若$E$是闭的，则$E$包含了自身所有的边界点，而在辅助结论的证明中我们证明了$E$包含了自身所有的内点。于是根据命题12.2.10，对任意$E$的附着点$e$，它要么是$E$的边界点，要么是$E$的内点，无论哪种 情况都有$e\in E$，从而即$E$包含了自身所有的附着点。

若$E$包含了自身所有的附着点，则根据命题12.2.10，对任意$E$的边界点$e$都有$e$是$E$的附着点，于是$e\in E$，从而即$\partial E\subseteq E$。根据定义12.2.12，即有$E$是闭的。

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3. 对于任意的$x_0\in X$和$r_0>0$，球$B(x_0,r_0)$都是开集，集合$\{x\in X:d(x,x_0)\le r_0\}$是闭集（这个集合有时候被称为以$x_0$为中心，半径为$r$的闭球）。

我们先证明$B(x_0,r_0)=\text{int}(B(x_0,r_0))$，即对任意$x\in B(x_0,r_0)$都有$x$是$B(x_0,r_0)$的内点。

根据定义应该有$r:=d(x,x_0)<r_0$，于是实数$r^{\prime }:=r-r_0$应该是大于$0$的，此时我们考虑任意的$x^{\prime }\in B(x,r^{\prime })$，根据度量球的定义应该有$d(x^{\prime },x)<r^{\prime }$，进而根据度量空间的三角不等式，应该有：

$$d(x^{\prime },x_0)\le d(x^{\prime },x)+d(x,x_0)<r^{\prime }+r=r_0$$

从而有$d(x^{\prime },x_0)<r_0⟹x^{\prime }\in B(x_0,r_0)$，于是$B(x,r^{\prime })\subseteq B(x_0,r_0)$，根据定义12.2.5有$x$是$B(x_0,r_0)$的内点。

于是根据结论(a)我们有$B(x_0,r_0)$是开集。

然后我们记$C:=\{x\in X:d(x,x_0)\le r_0\}$，证明闭球$C$包含了自身全部的附着点。

考虑任意$x$是$C$的附着点，根据命题12.2.10，存在一个完全由$C$中元素组成的序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$收敛于$x$。于是根据定义12.2.14对任意的$\epsilon >0$，都存在$N\ge 1$使得对任意的$n\ge N$都有$d(x_n,x)\le \epsilon$成立。

又因为$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是由$C$中元素组成的，于是对任意的$n\ge 1$都有$d(x_n,x_0)\le r_0$。于是根据度量空间的三角不等式我们有：

$$d(x,x_0)\le d(x,x_n)+d(x_n,x_0)\le r_0+\epsilon$$

注意到这个结论对任意的$\epsilon >0$都可以找到对应的$x_n$组成上面的三角不等式，并且$d(x,x_0)$是不依赖于$\epsilon$的，因此我们只能有$d(x,x_0)\le r_0$，从而$x\in C$。于是任意$x$是$C$的附着点都属于$C$。

于是根据结论(b)可以得到$C$是闭的。

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4. 任何一个单点集$\{x_0\}$都是闭的，其中$x_0\in X$。

考虑任意$x\in X$是$\{x_0\}$的附着点，根据命题12.2.10应该存在一个完全由$\{x_0\}$中元素组成的序列$(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$收敛于$x$，注意到由于$\{x_0\}$是一个单元素集，因此只能有对任意的$n\ge 1$都有$x_n=x_0$，从而只能有$x=x_0$。

于是$\{x_0\}$只有唯一的附着点$x_0$，进而由于$\{x_0\}$包含了自身所有的附着点（唯一的$x_0$）结合结论(b)有$\{x_0\}$是闭的。

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5. 如果$E$是$X$的一个子集，那么$E$是开的，当且仅当它的补集$X\mathtt{\text{}}E:=\{x\in X:x\notin E\}$是闭的。

注意到对任意$x\in X$，$x$是$E$的内点当且仅当$x$是$X\mathtt{\text{}}E$的外点，这是因为：

若$x$是$E$的内点，则根据定义存在$r>0$使得$B(x,r)\subseteq E$，于是有$B(x,r)\cap (X\mathtt{\text{}}E)=\varnothing$，根据定义12.2.5即有$x$是$E$的外点；反过来，若$x$是$X\mathtt{\text{}}E$的外点，则存在$r>0$使得$B(x,r)\cap (X\mathtt{\text{}}E)=\varnothing$，于是$B(x,r)\subseteq E$，根据定义12.2.5即有$x$是$E$的内点。

注意到上面的结论也蕴含了“对任意$x\in X$，$x$是$E$的外点当且仅当$x$是$X\mathtt{\text{}}E$的内点”（替换$X\mathtt{\text{}}E$为$E$，$E$为$X\mathtt{\text{}}E$即可）。于是我们可以得到：对任意$x\in X$，$x$是$E$的边界点当且仅当$x$是$X\mathtt{\text{}}E$的边界点，这是因为：

若$x$是$E$的边界点，则$x$既不是$E$的内点或外点，于是$x$相应的也不可能是$X\mathtt{\text{}}E$的外点或内点，根据辅助结论于是$x$只能是$X\mathtt{\text{}}E$的边界点，反过来也是类似。

于是若$E$是开的，则根据上面的讨论对任意$X\mathtt{\text{}}E$的边界点$e$，$e$是$E$的边界点，进而根据开集的定义有$e\notin E⟺e\in X\mathtt{\text{}}E$，于是即有$X\mathtt{\text{}}E$包含了自身所有的边界点，即有$X\mathtt{\text{}}E$是闭的；反过来，若$X\mathtt{\text{}}E$是闭的，则根据上面的讨论对任意$E$的边界点$e$，$e$是$X\mathtt{\text{}}E$的边界点，于是根据闭集的定义有$e\notin X\mathtt{\text{}}E⟹e\in E$，于是$E$包含了自身所有的边界点，即有$E$是开的。

综上，于是结论得证。

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6. 如果$E_1$，$E_2$，$...$，$E_n$是$X$中的有限个开集，那么$E_1\cap E_2\cap ...\cap E_n$也是开的；如果$E_1$，$E_2$，$...$，$E_n$是$X$中的有限个闭集，那么$E_1\cup E_2\cup ...\cup E_n$也是闭的。

先证明第一个结论，对任意$e\in E_1\cap E_2\cap ...\cap E_n$，于是对任意$1\le m\le n$，我们可以定义下面的集合：

$$R_m:=\{r>0:B(e,r)\subseteq E_m\}$$

根据结论(a)，由于对任意$1\le m\le n$都有$e$是$E_m$的内点，因此$R_m$都是非空的。于是根据选择公理，对任意$1\le m\le n$我们都可以指定一个$r_m\in R_m$，换句话说，我们可以组成下面这样一个有限集$\mathcal{R}$：

$$\mathcal{R}:=\{r_m:1\le m\le n\}$$

由于$\mathcal{R}$是有限的，因此其下确界必然属于自身，换言之，必然存在一个$1\le m_0\le n$使得对任意$1\le m\le n$都有$r_{m_0}\le r_m$，从而对任意$1\le m\le n$有：

$$B(e,r_{m_0})\subseteq B(e,r_m)\subseteq E_m$$

于是任意$x\in B(e,r_{m_0})$都满足对任意$1\le m\le n$有$x\in E_m$，从而有$B(e,r_{m_0})\subseteq E_1\cap E_2\cap ...\cap E_n$，根据结论(a)可得$E_1\cap E_2\cap ...\cap E_n$是开的。

然后证明第二个结论，根据结论(b)即证明：对于$E_1\cup E_2\cup ...\cup E_n$中的任意一个收敛序列$(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$，都有${\displaystyle x:=\underset{i\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_i}$属于$E_1\cup E_2\cup ...\cup E_n$。

注意到$(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$必然满足：至少存在一个$1\le m\le n$使得对任意的$j\ge 0$，都存在一个$i>j$使得$x_i\in E_m$。这是因为：

使用反证法，假设对任意$1\le m\le n$都存在$j_m\ge 0$使得对任意的$i>j_m$都有$x_i\notin E_m$，注意到集合：

$$\{j_m:1\le m\le n\}$$

是有限的，因此其上确界应当属于自身，我们记为$j$，从而对任意的$i>j$，对任意$1\le m\le n$都有：

$$i>j\ge j_m⟹x_i\notin E_m$$

但是由于$(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$是由$E_1\cup E_2\cup ...\cup E_n$中元素构成的序列，因此至少应该存在一个$1\le m_0\le n$使得$x_i\in E_{m_0}$，于是导出了矛盾，反证假设不成立。

于是我们可以构建下面的递推关系：定义$b(0):=min\{i\in \mathbb{N}:x_i\in E_m\}$，然后对任意$i>0$，定义$b(i)$为：

$$b(i):=min\{j\in \mathbb{N}:j>b(i-1)\mathrm{且}{x}_j\in E_m\}$$

由于上面的性质，因此这个定义总是有效的，并且$(x_{b(i)}{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$是一个完全由$E_m$中元素组成的点列。于是根据子序列的定义，我们有序列$(d(x_{b(i)},x){)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$是序列$(d(x_i,x){)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$的一个子序列，于是根据命题6.6.5有：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_{b(i)},x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(x_i,x)$$

由于$(x_i{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$依度量$d$收敛于$x$，于是根据依度量收敛的定义有上面的极限等于$0$，进而$(x_{b(i)}{)}_{i=0}^{\mathrm{\infty }}$是依度量$d$收敛于$x$的。根据命题12.2.10有$x$也是$E_m$的一个附着点，从而根据$E_m$是闭的与结论(b)可以得到$x\in E_m⟹x\in E_1\cup E_2\cup ...\cup E_n$。

综上，于是根据结论(b)可以得到$E_1\cup E_2\cup ...\cup E_n$是闭的。

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7. 如果$\{E_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇开集（这里的指标集没有限制，可以是无限的或者有限的），那么并集${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$也是开的；如果$\{E_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇闭集，那么交集${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$也是闭的。

先证明第一个结论，如果$\{E_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇开集，则对任意${\displaystyle e\in \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$，存在一个$\beta \in I$使得$e\in E_{\beta }$。由于$E_{\beta }$是开集，于是存在一个$r>0$使得${\displaystyle B(e,r)\subseteq E_{\beta }⟹B(e,r)\subseteq \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$，从而根据结论(a)可以得到${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$是开的。

再证明第二个结论，如果$\{E_{\alpha }{\}}_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇闭集，则对${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$中的任意一个收敛序列$(x_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$，特别地对任意$\alpha \in I$都有$(x_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$是$E_{\alpha }$中的收敛序列。由于$E_{\alpha }$是闭集，根据结论(b)应该有${\displaystyle x:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n}$属于$E_{\alpha }$。综合可得对任意$\alpha \in I$都有$x\in E_{\alpha }$，即有${\displaystyle x\in \bigcap _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$，于是此时根据结论(b)可以得到${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$是闭的。

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8. 如果$E$是$X$的任意一个子集，那么$\text{int}(E)$是包含在$E$中的最大开集。换言之，$\text{int}(E)$是开集，并且对任意给定的其它开集$V\subseteq E$均有$V\subseteq \text{int}(E)$；类似地，$\bar{E}$是包含$E$中的最小闭集。换言之，$\bar{E}$是闭集，并且对任意给定的其它闭集$K\supseteq E$均有$K\supseteq \bar{E}$。

先证明第一个结论，考虑任意的$V$是开集且$V\subseteq E$，则根据结论(a)对任意的$v\in V$都存在$r>0$使得$B(v,r)\subseteq V⟹B(v,r)\subseteq E$，于是根据内点定义我们有$v$也是$E$的内点，即有$v\in \text{int}(E)$，于是我们总能得到$V\subseteq \text{int}(E)$。

然后证明$\text{int}(E)$是开集，对任意的$e\in \text{int}(E)$，都存在$r>0$使得$B(e,r)\subseteq E$。根据结论(c)我们知道$B(e,r)$是一个开集，从而根据上面的讨论可以得到$B(e,r)\subseteq \text{int}(E)$，于是此时根据结论(a)可以直接得证$\text{int}(E)$是开的，第一个结论证明完毕。

接着证明第二个结论，考虑任意的$K$是闭集且$E\subseteq K$，由于闭包$\bar{E}$包含了$E$所有的附着点，于是根据命题12.2.10对任意的$x\in \bar{E}$，存在一个完全由$E$中元素组成的序列$(x_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$收敛于$x$，注意到由于$E\subseteq K$因此$(x_n{)}_{n=m}^{\mathrm{\infty }}$也是完全由$K$中元素组成的，因此结合$K$是闭集与结论(b)可以得到$x\in K$，于是我们总能得到$\bar{E}\subseteq K$。

然后证明$\bar{E}$是闭的，考虑任意的完全由$\bar{E}$中元素组成的收敛序列$(b_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$，不妨设其依度量$d$收敛于$c$，即有：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(b_n,c)=0$$

然后由于$\bar{E}$中元素都是$E$的附着点，于是根据附着点的定义，对任意的$n\in \mathbb{N}$，集合$B(b_n,d(b_n,c))\cap E$总是非空的。从而根据选择公理，我们可以为每一个$n\in \mathbb{N}$指定一个$a_n\in B(b_n,d(b_n,c))\cap E$。于是$a_n$满足$a_n\in E$且：

$$d(a_n,b_n)\le d(b_n,c)⟹d(a_n,c)\le d(a_n,b_n)+d(b_n,c)\le 2d(b_n,c)$$

于是对实数序列$(d(a_n,c){)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$，可以根据比较原理得到它的极限值为：

$$0\le d(a_n,c)\le 2d(b_n,c)⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}d(a_n,c)=0$$

即有$(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$是依度量$d$收敛于$c$的，又因为$(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$是完全由$E$中点组成的，于是$c$也是$E$的附着点，从而根据闭包的定义有$c\in \bar{E}$，然后根据结论(b)可以得到$\bar{E}$是闭的。

综上，于是证明完毕。

12.2.4 设$(X,d)$是一个度量空间，$x_0$是$X$中的一个点，并设$r>0$。设$B$是开球$B:=B(x_0,r)=\{x\in X:d(x,x_0)<r\}$，并设$C$是闭球$C:=\{x\in X:d(x,x_0)\le r\}$ ​

(a) 证明：$\bar{B}\subseteq C$ ​

根据命题12.2.15(c)我们有$C$是闭的，并且注意到$B\subseteq C$，然后根据命题12.2.15(h)有$\bar{B}$是包含$B$的最小闭集，于是只能有$\bar{B}\subseteq C$。

(b) 举例说明，存在度量空间$(X,d)$，点$x_0$与半径$r$使得$\bar{B}\ne C$ ​

考虑$X=\{x_0,x_1\}$与离散度量$d_{\text{disc}}$，点$x_0$与半径$1$。此时可以得到：

$$\begin{array}{c}B=\{x\in X:d_{\text{disc}}(x,x_0)<1\}=\{x_0\}\\ C=\{x\in X:d_{\text{disc}}(x,x_0)\le 1\}=\{x_0,x_1\}\end{array}$$

然后根据命题12.2.5(d)我们可以得到$\bar{B}=B=\{x_0\}$，从而此时有$\bar{B}\ne C$。

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实分析 8.4 选择公理

实分析 9.1 实直线的子集