12.3 相对拓扑 ​

定义 ​

1. （12.3.3 相对拓扑）设$(X,d)$是一个度量空间，$Y$是$X$的一个子集，并设$E$是$Y$的一个子集。如果$E$在度量子空间$(Y,d{|}_{Y\times Y})$中是开的，那么我们称$E$是关于$Y$相对开的；类似的，如果$E$在度量子空间$(Y,d{|}_{Y\times Y})$中是闭的，那么我们称$E$是关于$Y$相对闭的。

   （开集和闭集的概念并不是集合的内在属性，也就是说，它不止和限制在$Y$上的度量函数$d{|}_{Y\times Y}$有关，还和它的环绕空间$X$相关）

命题 ​

1. （12.3.4）设$(X,d)$是一个度量空间，$Y$是$X$的一个子集，并设$E$是$Y$的一个子集。那么有下面的两个命题成立：

   1. $E$是关于$Y$相对开的，当且仅当存在$X$中的开集$V\subseteq X$使得$E=V\cap Y$。
   2. $E$是关于$Y$相对闭的，当且仅当存在$X$中的闭集$K\subseteq X$使得$E=K\cap Y$。

课后习题 ​

12.3.1 证明命题12.3.4(b) ​

考虑最简单的情形，不妨令有$K$是$E$的闭包（当然，是关于$X$的），于是$K$是一个闭集。对任意的$e\in E$，于是根据命题12.2.15(b)$e$是$E$的一个附着点，进而根据命题12.2.10存在一个$E$中依度量$d_{Y\times Y}$收敛于$e$的序列$(e_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$。此时注意到$(e_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$同样是$K$中依度量$d$收敛于$e$的序列与$Y$中依度量$d_{Y\times Y}$收敛于$e$的序列，于是由于$Y$，$K$分别是关于$Y$，$K$相对闭的可以得到$e\in K$与$e\in Y$，即有$e\in K\cap Y$；反之，对任意的$e\in K\cap Y$，由于$K$是$E$的闭包，于是$e$是$E$的附着点。又因为$E$关于$Y$是相对闭的且$e\in Y$，于是根据命题12.2.15(b)我们有$E$应该包含其所有在$Y$中的附着点，也就是说$e\in E$。综上于是我们可得$K\cap Y=E$。

反过来，若存在$X$中闭集$K\subseteq X$使得$E=K\cap Y$。对任意$E$中的收敛序列$(e_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$，由于$K$是闭集并且$E\subseteq K$（即$(e_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$也是$K$中的收敛序列），我们可以得到该序列收敛值${\displaystyle e:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}_n\in K}$；另一方面，对度量子空间$(Y,d{|}_{Y\times Y})$来说$Y$是关于$Y$相对闭的，于是由于$E\subseteq Y$（即$(e_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$也是$Y$中的收敛序列）我们也可以得到$e\in Y$。从而$e\in K\cap Y=E$，综合即对任意$E$中的收敛序列$(e_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$其收敛值$e$都属于$E$，根据命题12.2.15(b)即$E$是闭的。