18.1 目标：勒贝格测度 ​

摘录 ​

1. （定义可测集）本章的目标需要定义可测集的概念，它是${\mathbb{R}}^n$的一类特殊子集。我们希望可测集需要满足下列性质：

   • （博雷尔性质）${\mathbb{R}}^n$中的每一个开集都是可测集，每一个闭集也都是可测集。
   • （互补性）如果$\mathrm{\Omega }$是可测集，那么${\mathbb{R}}^n\mathtt{\text{}}\mathrm{\Omega }$也是可测集。
   • （布尔代数性质）如果$({\mathrm{\Omega }}_j{)}_{j\in J}$是任意的有限多个可测集（于是$J$是有限的），那么它们的并集${\displaystyle \bigcup _{j\in J}{\mathrm{\Omega }}_j}$和交集${\displaystyle \bigcap _{j\in J}{\mathrm{\Omega }}_j}$也都是可测集。
   • （$\sigma$-代数性质）如果$({\mathrm{\Omega }}_j{)}_{j\in J}$是任意可数个可测集（于是$J$是可数的），那么它们的并集${\displaystyle \bigcup _{j\in J}{\mathrm{\Omega }}_j}$和交集${\displaystyle \bigcap _{j\in J}{\mathrm{\Omega }}_j}$也都是可测集。

   需要注意的是，上面的一些性质之间可以互相推导（例如$\sigma$-代数性质事实上蕴含了布尔代数性质），这个定义使得我们所考察的几乎每一个集合都是可测的。

   （注：仍需注意，这样的定义并不囊括了所有${\mathbb{R}}^n$的子集（尽管它看起来相当宽泛并且很难找到反例），不可测的集合仍然存在）

2. （定义勒贝格测度）对于每一个可测集$\mathrm{\Omega }$，我们指派一个满足如下性质的勒贝格测度$m(\mathrm{\Omega })$：

   • （空集）空集$\varnothing$的测度是$m(\varnothing )=0$。
   • （正性）对于每一个可测集$\mathrm{\Omega }$，都有$0\le m(\mathrm{\Omega })\le +\mathrm{\infty }$。
   • （单调性）若有可测集$A,B$满足$A\subseteq B$，那么$m(A)\le m(B)$。
   • （有限次可加性）如果$(A_j{)}_{j\in J}$是有限多个可测集，那么${\displaystyle m\left(\bigcup _{j\in J}{A}_j\right)\le \sum _{j\in J}m(A_j)}$。
   • （有限可加性）如果$(A_j{)}_{j\in J}$是有限多个彼此不相交的可测集，那么${\displaystyle m\left(\bigcup _{j\in J}{A}_j\right)=\sum _{j\in J}m(A_j)}$。
   • （可数次可加性）如果$(A_j{)}_{j\in J}$是可数个可测集，那么${\displaystyle m\left(\bigcup _{j\in J}{A}_j\right)\le \sum _{j\in J}m(A_j)}$。
   • （可数可加性）如果$(A_j{)}_{j\in J}$是可数个彼此不相交的可测集，那么${\displaystyle m\left(\bigcup _{j\in J}{A}_j\right)=\sum _{j\in J}m(A_j)}$。
   • （正规化）单位立方体$[0,1{]}^n:=\{(x_1,..,x_n):\mathrm{\forall }1\le j\le n,0\le x_j\le 1\}$的测度为$m([0,1{]}^n)=1$。
   • （平移不变性）如果$\mathrm{\Omega }$是一个可测集，并且$x\in {\mathbb{R}}^n$，那么$x+\mathrm{\Omega }:=\{x+y:y\in \mathrm{\Omega }\}$也是一个可测集，并且$m(x+\mathrm{\Omega })=m(\mathrm{\Omega })$。

   同样地，上面的性质中也存在一些多余的内容（例如可数可加性与可数次可加性蕴含了有限可加性与有限次可加性）。需要注意的是$m(\mathrm{\Omega })$可以是$+\mathrm{\infty }$（由于正性存在因此不会遇到$-\mathrm{\infty }++\mathrm{\infty }$这种不确定形式）。

命题 ​

1. （18.1.1 勒贝格测度的存在性）存在可测集的概念，同时还存在一种方法，使得每一个可测集$\mathrm{\Omega }\subseteq {\mathbb{R}}^n$都能被指派一个数字$m(\mathrm{\Omega })$，并保证本节摘录中公理1~13全部成立。

   （注：这也就是本章的最终目标。事实上，勒贝格测度是唯一的，其它任何满足公理1~13的概念都会与勒贝格测度有极大的重合；另外，我们还可能对欧几里得空间${\mathbb{R}}^n$以外的其它区域上的测度感兴趣，这部分就引出了测度论的内容，在本书中不做讨论。在现代概率论与分析学更深入的研究中（如广义函数论），测度的概念十分重要）