16.3 三角多项式 ​

摘录 ​

1. （傅里叶反演公式）由推论16.3.6可知，只要${\displaystyle f=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}_n}$是一个三角多项式，那么就有：

   $${\displaystyle f=\sum _{n=-N}^N⟨f,e_n⟩e_n=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}⟨f,e_n⟩e_n}$$

   从而我们可以得到傅里叶反演公式：

   $${\displaystyle f=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(n)e_n=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\hat{f}(n){\text{e}}^{2\pi \text{i}nx}}$$

   上式右端即为本章前言中提到的$f$的傅里叶级数。另外，结合推论16.3.6的第二个恒等式，我们有Plancherel公式：

   $${\Vert f{\Vert }_2}^2=\sum _{n=-N}^N|\hat{f}(n){|}^2$$

   需要注意上面的结论都只是在$f$是一个三角多项式的情况下得到的。事实上，这里的绝大多数傅里叶系数$\hat{f}(n)$都是零，这里的无限和实际上也是一个有限和，因此不存在收敛的讨论（有限级数总是一致收敛的，也即逐点收敛和依$L^2$度量收敛的）。

   （注：在后面的章节中，如同在幂级数章节所做的那样，我们希望用三角多项式去一致逼近连续的周期函数，并将傅里叶反演公式和Plancherel公式推广到$C(\mathbb{R}/\mathbb{Z};\mathbb{C})$中的一般函数上）

定义 ​

1. （16.3.1 特征）对于每一个整数$n$，令$e_n\in C(\mathbb{R}/\mathbb{Z};\mathbb{C})$表示函数：

   $$e_n(x):={\text{e}}^{2\pi \text{i}nx}$$

   该函数有时也被称为频率为$n$的特征。

2. （16.3.2 三角多项式）设$f$是$C(\mathbb{R}/\mathbb{Z};\mathbb{C})$中的函数。如果存在一个整数$N\ge 0$和一个复数序列$(c_n{)}_{n=-N}^N$使得${\displaystyle f=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}_n}$，则我们称函数$f$是一个三角多项式。 （注：一些常见的例子：对任意的整数$n$，函数${\displaystyle \cos (2\pi nx)=\frac{1}{2}{e}_{-n}+\frac{1}{2}{e}_n}$和${\displaystyle \sin (2\pi nx)=\frac{-1}{2\text{i}}{e}_{-n}+\frac{1}{2\text{i}}{e}_n}$都是三角多项式。事实上，正弦余弦函数的任意线性组合都是三角多项式；傅里叶级数与三角多项式的关系同幂级数与多项式的关系类似，可以进行类比）

3. （16.3.7 傅里叶变换）对于任意的函数$f\in C(\mathbb{R}/\mathbb{Z};\mathbb{C})$和任意的整数$n\in \mathbb{Z}$，我们定义$f$的第$n$个傅里叶系数$\hat{f}(n)$为：

   $$\hat{f}(n):=⟨f,e_n⟩={\int }_{[0,1]}f(x){\text{e}}^{-2\pi \text{i}nx}\text{d}x$$

   函数$\hat{f}:\mathbb{Z}\to \mathbb{C}$被称为$f$的傅里叶变换。

命题 ​

1. （16.3.5 全体特征构成一个标准正交系）对于任意的整数$n$和$m$，当$n=m$时，$⟨e_n,e_m⟩=1$；当$n\ne m$时，$⟨e_n,e_m⟩=0$。同时还有$\Vert e_n{\Vert }_2=1$。

   推论：

   1. （16.3.6 三角多项式的系数？）设${\displaystyle f=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}_n}$是一个三角多项式，那么对于所有的整数$-N\le n\le N$，有如下公式：$$c_n=⟨f,e_n⟩$$另外，只要$n>N$或者$n<-N$，我们就有$0=⟨f,e_n⟩$。最后，我们还有恒等式：$${\Vert f{\Vert }_2}^2=\sum _{n=-N}^N|c_n{|}^2$$

课后习题 ​

16.3.1 证明：任意两个三角多项式的和以及乘积也都是三角多项式 ​

我们设${\displaystyle f=\sum _{n=-N}^N{a}_n{e}_n}$与${\displaystyle g=\sum _{m=-M}^M{b}_m{e}_m}$是三角多项式（于是$N,M\in \mathbb{Z}$是非负整数，$(a_n{)}_{n=-N}^N$与$(b_n{)}_{n=-M}^M$都是有限的复数序列）。不失一般性地，我们假设$N\ge M$。此时有：

---

$$f+g=\sum _{n=-N}^{-N}{a}_n{e}_n+\sum _{n=-M}^M(a_n+b_n)e_n+\sum _{n=M}^N{a}_n{e}_n$$

如果我们考虑定义复数序列$(c_n{)}_{n=-N}^N$有：

$$c_n:=\{\begin{array}{ll}{a}_n& \text{if}M<|n|\le N\\ a_n+b_n& \text{if}0\le |n|\le M\end{array}$$

则可以直接合并有：

$$f+g=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}_n$$

即$f+g$也是一个三角多项式。

---

$$\begin{array}{rl}fg& =\left(\sum _{n=-N}^N{a}_n{e}_n\right)\left(\sum _{m=-M}^M{b}_n{e}_n\right)\\ & =\sum _{n=-N}^N\left(a_n{e}_n\sum _{m=-M}^M{b}_m{e}_m\right)\\ & =\sum _{n=-N}^N\sum _{m=-M}^M{a}_n{b}_m{e}_n{e}_m\\ & =\sum _{(n,m)\in S}{a}_n{b}_m{e}_n{e}_m(S:=[-N,N]\times [-M,M]\cap {\mathbb{Z}}^2)\end{array}$$

注意到有下面的事实：

$$\begin{array}{c}{e}_n{e}_m={\text{e}}^{2\pi \text{i}nx}{\text{e}}^{2\pi \text{i}mx}={\text{e}}^{2\pi \text{i}(n+m)x}=e_{n+m}\\ \\ \begin{array}{rl}S& =\{(n,m)\in {\mathbb{Z}}^2:|n|\le N\wedge |m|\le N\}\\ & =\bigcup _{-N-M\le i\le N+M}\{(n,m)\in \mathbb{S}:n+m=i\}\end{array}\end{array}$$

据此我们合并这个有限级数中的部分项（$n+m$值相同的项），可以得到：

$$\begin{array}{rl}\sum _{(n,m)\in S}{a}_n{b}_m{e}_n{e}_m& =\sum _{(n,m)\in S}{a}_n{b}_m{e}_{n+m}\\ & =\sum _{i=-N-M}^{N+M}\left(\sum _{(n,m)\in S;n+m=i}{a}_n{b}_m{e}_{n+m}\right)\\ & =\sum _{i=-N-M}^{N+M}\left(\sum _{(n,m)\in S;n+m=i}{a}_n{b}_m\right)e_i\end{array}$$

此时我们令有${\displaystyle c_i:=\sum _{(n,m)\in S;n+m=i}{a}_n{b}_m}$，则上面的式子即${\displaystyle fg=\sum _{i=-N-M}^{N+M}{c}_i{e}_i}$是一个三角多项式，于是结论得知。

16.3.2 证明引理16.3.5 ​

对任意的整数$n,m$，根据内积定义有：

$$\begin{array}{rl}⟨e_n,e_m⟩& ={\int }_{[0,1]}{\text{e}}^{2\pi \text{i}nx}{\text{e}}^{-2\pi \text{i}mx}\text{d}x\\ & ={\int }_{[0,1]}{\text{e}}^{2\pi \text{i}(n-m)x}\text{d}x\\ & ={\int }_{[0,1]}\cos (2\pi (n-m)x)\text{d}x+\text{i}{\int }_{[0,1]}\sin (2\pi (n-m)x)\text{d}x\end{array}$$

当$n=m$的时候，上面的积分变为简单的常数函数积分（$\cos (2\pi (n-m)x)\equiv 1$和$\sin (2\pi (n-m)x)\equiv 0$），可以直接计算得到$⟨e_n,e_m⟩=1$；当$n\ne m$的时候，使用微积分第二基本定理（命题11.9.4）我们可以得到：

$$\begin{array}{rl}⟨e_n,e_m⟩& =\frac{\sin (2\pi (n-m))-\sin (0)}{2\pi (n-m)}+\text{i}\frac{-\cos (2\pi (n-m))+\cos (0)}{2\pi (n-m)}\\ & =0+\text{i}0=0\end{array}$$

特别地，我们有$\Vert e_n{\Vert }_2=⟨e_n,e_m⟩=1$。综上，于是结论得证。

16.3.3 证明推论16.3.6（提示：利用引理16.3.5。对于第二个恒等式，既可以利用毕达哥拉斯定理（引理16.2.7(d)）和归纳法，也可以代入${\displaystyle f=\sum _{n=-N}^N{c}_n{e}_n}$并展开所有的表达式） ​

我们对$N$做归纳来证明这个推论。

考虑$N=0$的情况，此时$f=c_0$是某个常数函数，唯一满足$-0\le m\le 0$的整数是$0$。于是显然可以验证有$⟨f,e_0⟩=c_0$与${\Vert f{\Vert }_2}^2=|c_0{|}^2$，并且对任意的$m>0$或$m<0$，根据引理16.3.5我们都有：

$$⟨f,e_m⟩=⟨c_0{e}_0,e_m⟩=c_0⟨e_0,e_m⟩=0$$

然后我们归纳地假设当$N=a$时结论成立，对$N=a+1$时的情况讨论，此时有：

$$f=\sum _{n=-a-1}^{a+1}{c}_n{e}_n=c_{-a-1}{e}_{-a-1}+\sum _{n=-a}^a{c}_n{e}_n+c_{a+1}{e}_{a+1}$$

令有$g:={\displaystyle \sum _{n=-a}^a{c}_n{e}_n}$，于是根据内积的运算定律（命题16.2.5），结合归纳假设我们有：

$$\begin{array}{rl}⟨f,e_m⟩& =⟨c_{-a-1}{e}_{-a-1},e_m⟩+⟨g,e_m⟩+⟨c_{a+1}{e}_{a+1},e_m⟩\\ & =\{\begin{array}{ll}{c}_{-a-1}& \text{if}m=-a-1\\ c_m& \text{if}-a\le m\le a\\ c_{a+1}& \text{if}m=a+1\\ 0& \text{else}\end{array}\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\Vert f{\Vert }_2}^2=⟨f,f⟩=& ⟨(c_{-a-1}{e}_{-a-1}+g+c_{a+1}{e}_{a+1}),(c_{-a-1}{e}_{-a-1}+g+c_{a+1}{e}_{a+1})⟩\\ =& ⟨c_{-a-1}{e}_{-a-1},c_{-a-1}{e}_{-a-1}⟩+⟨c_{-a-1}{e}_{-a-1},g⟩+⟨c_{-a-1}{e}_{-a-1},c_{a+1}{e}_{a+1}⟩+\\ & ⟨g,c_{-a-1}{e}_{-a-1}⟩+⟨g,g⟩+⟨g,c_{a+1}{e}_{a+1}⟩+\\ & ⟨c_{a+1}{e}_{a+1},c_{-a-1}{e}_{-a-1}⟩+⟨c_{a+1}{e}_{a+1},g⟩+⟨c_{a+1}{e}_{-a-1},c_{a+1}{e}_{a+1}⟩\\ =& |c_{-a-1}{|}^2+\sum _{n=-a}^a|c_n{|}^2+|c_{a+1}{|}^2\\ =& \sum _{n=-a-1}^{a+1}|c_n{|}^2(\sum _{n=-N}^N|c_n{|}^2)\end{array}$$

从而归纳得证，对任意的自然数$N$我们证明了推论16.3.6。

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实分析 16.2 周期函数的内积