实分析

15.4 幂级数的乘法

命题

（15.4.1 乘法保持函数的实解析性质？）设 $f : (a - r, a + r) \to R$ 和 $g : (a - r, a + r) \to R$ 都是 $(a - r, a + r)$ 上的解析函数，它们在 $a$ 处分别有幂级数展开式：
$\begin{matrix} f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (x - a)^{n} \\ g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} d_{n} (x - a)^{n} \end{matrix}$
那么函数 $f g : (a - r, a + r) \to R$ 在 $(a - r, a + r)$ 上也是解析的，其幂级数展开式为：
$f (x) g (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} e_{n} (x - a)^{n}$
其中 $e_{n} := \sum_{m = 0}^{n} c_{m} d_{n - m}$ 。
（注：序列 $(e_{n})_{n = 0}^{\infty}$ 有时被称为序列 $(c_{n})_{n = 0}^{\infty}$ 和 $(d_{n})_{n = 0}^{\infty}$ 的卷积，它与[定义14.8.9](....\第14章\pdf\实分析 14.8 用多项式一致逼近.pdf)中引入的卷积概念有密切的联系）

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