15.4 幂级数的乘法 ​

命题 ​

1. （15.4.1 乘法保持函数的实解析性质？）设$f:(a-r,a+r)\to \mathbb{R}$和$g:(a-r,a+r)\to \mathbb{R}$都是$(a-r,a+r)$上的解析函数，它们在$a$处分别有幂级数展开式：

   $$\begin{array}{c}f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-a{)}^n\\ g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n(x-a{)}^n\end{array}$$

   那么函数$fg:(a-r,a+r)\to \mathbb{R}$在$(a-r,a+r)$上也是解析的，其幂级数展开式为：

   $$f(x)g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{e}_n(x-a{)}^n$$

   其中${\displaystyle e_n:=\sum _{m=0}^n{c}_m{d}_{n-m}}$。

   （注：序列$(e_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$有时被称为序列$(c_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$和$(d_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$的卷积，它与[定义14.8.9](....\第14章\pdf\实分析 14.8 用多项式一致逼近.pdf)中引入的卷积概念有密切的联系）

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