15.3 阿贝尔定理 ​

命题 ​

1. （15.3.1 阿贝尔定理）设${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-a{)}^n}$是以$a$为中心，收敛半径为$0<R<\mathrm{\infty }$的幂级数。如果$f$是在$a+R$处收敛，那么$f$在$a+R$处连续，也即有：

   $$\underset{x\to a+R;x\in (a-R,a+R)}{lim}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-a{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{R}^n$$

   类似地，如果$f$在$a-R$处收敛，那么$f$在$a-R$处连续，即有：

   $$\underset{x\to a-R;x\in (a-R,a+R)}{lim}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(x-a{)}^n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(-R{)}^n$$

   （注：阿贝尔定理揭示了幂级数在边界点收敛时会表现出良好的性状）

2. （15.3.2 分部求和公式）设$(a_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$和$(b_n{)}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}$分别是收敛于极限$A$和$B$的实数序列，如果级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n+1}-a_n)b_n}$是收敛的，那么级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(b_{n+1}-b_n)}$也是收敛的，并且有：

   $$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n+1}-a_n)b_n=AB-a_0{b}_0-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(b_{n+1}-b_n)$$

   （注：应当将这个公式同分部积分公式比较，参考[命题11.10.1](....\第11章\pdf\实分析 11.10 基本定理的推论.pdf)，它应该是类似

   $${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{f}^{\prime }(x)g(x)\text{d}x=f(x)g(x){|}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}f(x)g^{\prime }(x)\text{d}x$$

   的变种；使用这个引理有助于证明阿贝尔定理，这部分内容参考原书）

课后习题 ​

15.3.1 证明引理15.3.2（提示：首先要找到级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n+1}-a_n)b_n}$与级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(b_{n+1}-b_n)}$之间的关系） ​

根据极限定律我们知道有${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n{b}_n=AB}$，于是根据习题7.2.6我们有级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}{b}_{n+1}-a_n{b}_n}$收敛于$AB-a_0{b}_0$，结合前设中级数${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n+1}-a_n)b_n}$也收敛，根据级数的运算定律我们有级数：

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}{b}_{n+1}-a_n{b}_n-(a_{n+1}-a_n)b_n=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(b_{n+1}-b_n)$$

是收敛的，并且有：

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(b_{n+1}-b_n)& =(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}{b}_{n+1}-a_n{b}_n)-(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(a_{n+1}-a_n)b_n)\\ & =AB-a_0{b}_0-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{n+1}(b_{n+1}-b_n)\end{array}$$

于是题目结论得证。

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[实分析 11.10 基本定理的推论](....\第11章\pdf\实分析 11.10 基本定理的推论.pdf)