13.4 连续性与连通性 ​

定义 ​

1. （13.4.1 连通空间）设$(X,d)$是一个度量空间，我们称$X$是不连通的，当且仅当存在不相交的非空开集$V$和$W$使得$V\cup W=X$；我们称$X$是连通的，当且仅当$X$是非空的且不是不连通的。

   （注：这个定义换一种说法即：$X$是不连通的，当且仅当$X$包含一个既闭又开的非空真子集；空集是一种很特殊的情况，它既不是不连通的，也不是连通的，应该认为空集是“无连通性的”；注意上面定义中$V$与$W$都是关于$X$相对开的，作为一个例子，考虑具有标准度量的集合$X:=[1,2]\cup [3,4]$，这个空间是不连通的，因为$[1,2]$和$[3,4]$是$X$中的开集）

2. （13.4.3 连通空间）设$(X,d)$是一个度量空间，并设$Y$是$X$的子集。我们称$Y$是连通的，当且仅当度量空间$(Y,d{|}_{Y\times Y})$是连通的；我们称$Y$是不连通的，当且仅当度量空间$(Y,d{|}_{Y\times Y})$是不连通的。

   （注：很显然这个定义是内在的，它只与$Y$上的度量相关而与环绕空间$X$无关）

命题 ​

1. （13.4.5 实直线上的连通集？）设$X$是实直线$\mathbb{R}$的子集，那么下述命题是等价的：

   1. $X$是连通的。
   2. 只要$x$，$y\in X$且$x<y$，那么区间$[x,y]$就包含在$X$中。
   3. $X$是一个区间（在定义9.1.1意义下）。

   （注：因此定义13.4.1可以视为对定义11.1.1的推广）

2. （13.4.6 连续性保持连通性）设$f:X\to Y$是从度量空间$(X,d_X)$到度量空间$(Y,d_Y)$的连续映射，并设$E$是$X$的任意一个连通子集。那么$f(E)$也是连通的。

3. （13.4.7 介值定理）设$f:X\to Y$是从度量空间$(X,d_X)$到实直线$\mathbb{R}$的连续映射，设$E$是$X$的任意一个连通子集，$a$、$b$是$E$中任意两个元素，并设$y$是介于$f(a)$和$f(b)$之间的实数。那么存在$c\in E$使得$f(c)=y$。

   （注：这是对定理9.7.1的推广）

课后习题 ​

13.4.1 设$(X,d_{\text{disc}})$是具有离散度量的度量空间，设$E$是$X$的子集，并且$E$中至少包含两个元素。证明：$E$是不连通的 ​

在习题12.2.1中我们论述过离散度量下空间内的集合不存在边界点（从而集合必然是又闭又开的），由于$E$至少存在两个元素，若设有$e\in E$是$E$中元素，则$E\mathtt{\text{}}\{e\}$是非空的，于是$E$可以表示为$\{e\}\cup (E\mathtt{\text{}}\{e\})$，这两个集合满足不相交，非空且都是开集。于是根据定义13.4.1$E$不是连通的。

13.4.2 设$f:X\to Y$是从度量空间$(X,d)$到度量空间$(Y,d_{\text{disc}})$的函数，其中$(X,d)$是连通的空间，$(Y,d_{\text{disc}})$具有离散度量。证明：$f$是连续的，当且仅当$f$是常数函数（提示：利用习题13.4.1） ​

分别证明充分必要性：

若$f$是常数函数则对任意的$(x^{(n)}{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是$X$中依度量$d$收敛于某个点$x_0\in X$的序列，序列$(f(x^{(n)}){)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是一个常数序列必然收敛于$f(x_0)$（对任意$x\in X$都有$f(x)=f(x_0)$），从而根据命题13.1.5我们有$f$是连续的。

反过来，如果$f$是连续的，那么由于$X$是连通的，结合定理13.4.6于是$f(X)$也应该是连通的。由于$f$是一个函数因此$f(X)$不可能为空；又由于我们在习题13.4.1中讨论的，$f(X)$是连通的则它不可能包含超过两个元素。综合即有$f(X)$是一个单元素集，若设有$f(X)=\{y\}$，则根据象的定义即：

$$\mathrm{\forall }x\in X,f(x)\in \{y\}⟺f(x)=y$$

于是$f$是一个常数函数。

综上，于是充分必要性得证，证明完毕。

13.4.3 证明：定理13.4.5中的命题(b)与(c)是等价的 ​

分别证明这两个命题能互相推知：

若对任意$x$，$y\in X$满足$x<y$都有区间$[x,y]$就包含在$X$中。由于$X$是$\mathbb{R}$的子集，根据上下确界的定义（5.5节）知道它的上确界$s:=sup(X)$和下确界$i:=inf(X)$都必然存在，我们证明$X$是一个形如$[i,s]$，$[i,s)$，$(i,s]$或$(i,s)$的区间。为了证明这一点，我们只需要证明$(i,s)\subseteq X$且$X\subseteq [i,s]$，这样$X$的形式只与$i$，$s$是否属于$X$有关，而$X$始终是一个区间。

首先根据命题6.2.11我们知道对任意$x\in X$都有$i\le x\le s$，于是$X\subseteq [i,s]$得证；另一方面，对任意$i<x<s$，由于$x<s$，从而$x$不可能是$X$的上界（命题6.2.11），因此必然存在一个$y\in X$使得$x<y\le s$；同时$x>i$表明$x$不可能是$X$的下界，因此必然存在一个$z\in X$使得$i\le z<x$。然后使用前设我们知道$[z,y]\subseteq X$，从而必然有$x\in X$。于是$(i,s)\subseteq X$也得证。

于是综上我们有$X$肯定是形如$[i,s]$，$[i,s)$，$(i,s]$或$(i,s)$的区间。

反过来，若$X$是一个区间，则我们以$X$为形如$[a,b]$的区间为例子，其它区间也是类似：此时对任意$x$，$y\in X$且$x<y$都有：

$$a\le x<y\le b$$

于是对任意$z\in [x,y]$，我们都有：

$$a\le x\le z\le y\le b⟹a\le z\le b⟹z\in [a,b]$$

即有$z\in X$，于是区间$[x,y]$是包含于$X$的，对形如$(a,b)$，$(a,b]$，$[a,b)$的情形类似地证明即可。

13.4.4 证明定理13.4.6（提示：定理13.1.5(c)中对于连续性的表述在这里是最方便的） ​

不妨使用反证法，我们假设$f(E)$不是连通的，那么存在$f(E)$中的两个非空不相交开集$V$，$W$使得$f(E)=V\cup W$。于是根据定理13.1.5(c)即有$f^{-1}(V)$与$f^{-1}(W)$都是开集。此时注意到对任意$x\in E$，我们都有$f(x)\in E⟹f(x)\in V$或$f(x)\in W$，于是$x$要么属于$f^{-1}(V)$要么属于$f^{-1}(W)$。

于是使用命题12.3.4，我们知道$f^{-1}(V)\cap E$与$f^{-1}(W)\cap E$也是开的，然后在上面的讨论中我们知道$f^{-1}(V)\cap E$与$f^{-1}(W)\cap E$是不相交且非空的（由于$V$，$W$非空因此至少分别存在$x$，$y\in E$使得$f(x)\in V$与$f(y)\in W$为真），并且根据布尔代数有：

$$(f^{-1}(V)\cap E)\cup (f^{-1}(W)\cap E)=E\cap (f^{-1}(V)\cup f^{-1}(W))=E$$

于是根据不连通的定义有$E$是不连通的，这和定理13.4.6中$E$是连通的”的前提矛盾。

综上，于是只能有$f(E)$是连通的。

13.4.5 利用定理13.4.6证明推论13.4.7 ​

$f(a)=f(b)$的话则$x$可以直接取$a$或$b$，结论显然是成立的。我们只考虑$f(a)\ne f(b)$的情况。

根据定理13.4.6，由于$E$是连通的我们知道$f(E)$也是连通的。进而由于$f(E)$是实直线的子集，使用命题13.4.5我们知道区间$[f(a),f(b)]$（这里不失一般性地假定$f(a)<f(b)$）是包含于$f(E)$，因此$y\in [f(a),f(b)]$也必然有$y\in E$。从而根据象的定义，我们知道必然存在一个$c\in E$使得$f(c)=y$。

综上，于是推论13.4.7得证。

13.4.6 设$(X,d)$是一个度量空间，$(E_{\alpha }{)}_{\alpha \in I}$是$X$中的一簇连通集，并设${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$是非空的。证明：${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$是连通的 ​

使用反证法，我们假设${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$是不连通的，于是存在${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$中非空且不相交的两个开集$V$与$W$使得${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }=V\cup W}$。然后注意到如果存在某个$\alpha \in I$使得$E_{\alpha }\cap V$与$E_{\alpha }\cap W$都是非空的（这两个不可能同时为空，不然就会导出$E_{\alpha }$为空的结论与连通性相悖），那么根据命题12.3.4的结论由于这两个集合都是开集并且：

$$(E_{\alpha }\cap V)\cup (E_{\alpha }\cap W)=E_{\alpha }\cap (V\cup W)=E_{\alpha }$$

这会导出$E_{\alpha }$是不连通的，与我们的题设相悖，从而对任意的$\alpha \in I$，$E_{\alpha }\cap V$与$E_{\alpha }\cap W$中恰好有一个为空，换言之即$E_{\alpha }$要么包含于$V$要么包含于$W$。然后注意到若存在两个${\alpha }_1$，${\alpha }_2\in I$使得$E_{{\alpha }_1}\subseteq V$且$E_{{\alpha }_2}\subseteq W$，则由于$V$和$W$是不相交的于是${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }=\varnothing }$，这与题设中${\displaystyle \bigcap _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$非空的前提矛盾，从而对全体$\alpha \in I$只能有$E_{\alpha }$同时包含于$V$或者同时包含于$W$。

但是注意到若对任意的$\alpha \in I$都有$E_{\alpha }\subseteq V$则会导出${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }\subseteq V}$，结合$V$是${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$的子集于是即有${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }=V⟹W=\varnothing }$；“对任意的$\alpha \in I$都有$E_{\alpha }\subseteq W$”的情况我们也可以类似推出$V$是空集，这和$V$与$W$都非空的反证假设矛盾，反证假设不成立。

综上，于是${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in I}{E}_{\alpha }}$只能是是连通的。

13.4.7 设$(X,d)$是一个度量空间，并设$E$是$X$的子集。我们称$E$是道路连通的，当且仅当对于任意的$x$，$y\in E$，存在一个从单位区间$[0,1]$到$E$的连续函数$\gamma :[0,1]\to E$使得$\gamma (0)=x$，$\gamma (1)=y$。证明：每一个道路连通的集合都是连通的（逆命题是不成立的，证明这一点需要一点技巧，然后原书没说怎么搞） ​

对一个$(X,d)$中的道路连通集$E$，我们不妨假设它不是连通的，从而根据定义13.4.1存在$E$中的两个不相交的非空开集$V$，$W$使得$E=V\cup W$。特别地，由于这两个集合都是非空的，因此我们可以分别选取两个元素$x\in V$与$y\in W$，然后根据道路连通集的定义，存在一个$[0,1]$到$E$的连续函数$\gamma :[0,1]\to E$使得$\gamma (0)=x$，$\gamma (1)=y$。

由于$[0,1]$是一个区间，根据命题13.4.5我们知道$[0,1]$是连通的，从而根据命题13.4.6我们知道$\gamma ([0,1])$也是连通的，并且注意到$x$和$y$都属于象$\gamma ([0,1])$。又由$V$和$W$是$E$中的开集，且$\gamma ([0,1])$是$E$的子集，根据命题12.3.4可以知道$V\cap \gamma ([0,1])$和$W\cap \gamma ([0,1])$都是$\gamma ([0,1])$中的开集。并且注意到两者显然是不相交且非空的（$x\in V\cap \gamma ([0,1])$，$y\in W\cap \gamma ([0,1])$），然后有：

$$(V\cap \gamma ([0,1]))\cup (W\cap \gamma ([0,1]))=\gamma ([0,1])\cap (V\cup W)=\gamma ([0,1])$$

于是根据定义13.4.1我们知道$\gamma ([0,1])$是不连通的，这与$\gamma ([0,1])$连通的前提矛盾。

综上，于是任意道路连通的集合都是连通的。

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关于逆命题，并不是所有的连通集合都是道路连通的，这一点在额外注释中本人收录了一个例子，详情参考：额外注释：非道路连通但是连通的集合。

13.4.8 设$(X,d)$是一个度量空间，并设$E$是$X$的子集。证明：如果$E$是连通的，那么$E$的闭包$\bar{E}$也是连通的，并解释逆命题是否成立 ​

不妨使用反证，假设$\bar{E}$不是连通的，于是存在两个$\bar{E}$中的非空不相交开集$V$，$W$使得$\bar{E}=V\cup W$。由于$V$是开集，于是对任意$x\in V$都存在一个$\epsilon >0$使得球$B(x,\epsilon )\subseteq V$；又由于闭包的性质$x$应该是$E$的附着点，从而$B(x,\epsilon )$与$E$的交集是非空的。从而我们得到$V$和$E$的交集$V\cap E$是非空的，类似地我们也可以证明$W$与$E$的交集$W\cap E$也是非空的。

然后根据命题12.3.4，$V\cap E$和$W\cap E$是$E$中的开集，由于$V$，$W$不相交因此显然$V\cap E$和$W\cap E$是不相交的。并且由布尔代数我们有：

$$(V\cap E)\cup (W\cap E)=E\cap (V\cup W)=E\cap \bar{E}$$

然后根据命题12.2.15(h)我们知道有$E\subseteq \bar{E}$，于是$E\cap \bar{E}=E$。总结下上面得到的内容即有：

存在$E$中的两个非空不相交开集$V\cap E$和$W\cap E$使得$(V\cap E)\cup (W\cap E)=E$。

于是根据定义13.4.1，我们有$E$是不连通的，这和题设中$E$是连通的前提矛盾。

综上，于是只能有$\bar{E}$也是连通的。

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关于逆命题，显然是不成立的，考虑$\mathbb{R}$中的集合$[0,2]$，它显然是集合$[0,1)\cup (1,2]$的闭包，但是$[0,1)\cup (1,2]$是不连通的（$[0,1)$和$(1,2]$都是$[0,1)\cup (1,2]$中的开集且两者不相交）。

13.4.9 设$(X,d)$是一个度量空间，我们定义一个$X$上的关系$x\sim y$：我们称$x\sim y$，当且仅当在$X$中存在一个同时包含$x$和$y$的连通子集。证明：这是一种等价关系（也就是说，它满足自反性，对称性和传递性公理）。另外，证明：这种关系的等价类（即形如$\{y\in X:y\sim x\}$的集合，其中$x\in X$）全是连通的闭集（提示：利用习题13.4.6和习题13.4.8），这些集合被称为$X$的连通分支 ​

证明：$\sim$是一种等价关系。

于是要证明：

• $\sim$满足自反性公理：对任意$x\in X$我们都有$x\sim x$。

  显然单元素集$\{x\}$肯定是$X$中连通的子集（凑不出两个不相交的非空开集），因此对任意$x\in X$根据上面的定义总有$x\sim x$为真。

• $\sim$满足对称性公理：对任意$x$，$y\in X$，若有$x\sim y$，则有$y\sim x$。

  $x\sim y$当且仅当存在$X$的包含$x$与$y$的连通子集，这也表明$y\sim x$（换一种表述形式而已），于是对称性公理也总是满足的。

• $\sim$满足传递性公理：对任意$x$，$y$与$z\in X$，若有$x\sim y$且$y\sim z$，则有$x\sim z$。

  $x\sim y$表明$X$中存在一个包含$x$与$y$的连通子集$S_{xy}$；$y\sim z$表明$X$中存在一个包含$y$与$z$的连通子集$S_{yz}$。注意到$y$是$S_{xy}$与$S_{yz}$的都包含的元素，因此$S_{xy}\cap S_{yz}$必然是非空的。于是此时我们令有$S_{xz}:=S_{xy}\cup S_{yz}$，显然有$S_{xz}$是包含了$x$与$z$的$X$的子集，并且根据习题13.4.6由于$S_{xy}\cap S_{yz}$非空因此$S_{xz}$是连通的。

  于是综合即存在$X$的连通子集$S_{xz}$包含$x$与$z$，从而根据定义即有$x\sim z$。

综上，于是结论得证。

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证明：$\sim$的等价类都是连通的闭集。

我们先证明对任意$x\in X$，集合$\{y\in X:y\sim x\}$都是连通的。

使用反证，我们假设$\{y\in X:y\sim x\}$是不连通的，于是存在两个非空且不相交的开集$V$，$W$使得$V\cup W=\{y\in X:y\sim x\}$。于是我们设有$v\in V$与$w\in W$，然后由于$\sim$满足传递性公理，于是我们可以从$v\sim x$与$w\sim x$推知$v\sim w$，即存在一个$X$中的连通子集$S$包含$v$和$w$。

然后对任意的$s\in S$，由于$x\in S$且$S$是连通的，于是根据$\sim$的定义也有$s\sim x⟹s\in \{y\in X:y\sim x\}$，也即$\{y\in X:y\sim x\}$包含了$S$。于是根据命题12.3.4我们知道$V\cap S$与$W\cap S$也是开集；并且由于$v\in S$与$w\in S$我们知道这两个集合是非空的；由于$V$，$W$不相交我们知道这两个集合也是不相交的，最后使用布尔代数可以得到：

$$(V\cap S)\cup (W\cap S)=S\cap (V\cup W)=S$$

于是根据定义13.4.1我们知道$S$是不连通的，这导出了矛盾。从而反证假设不成立，$\{y\in X:y\sim x\}$只能是连通的。

然后我们证明对任意$x\in X$，集合$\{y\in X:y\sim x\}$都是闭的。

仍然使用反证，我们假设$\{y\in X:y\sim x\}$不是闭的，于是存在$x_0$是$\{y\in X:y\sim x\}$的附着点且$x_0\notin \{y\in X:y\sim x\}$（这表明$x_0\sim x$为假）。由于对任意集合闭包都是包含原集合的（命题12.2.15(h)），因此应该有$x$属于$\{y\in X:y\sim x\}$的闭包；此外，根据闭包定义闭包包含了原集合的任意附着点，于是$x_0$也属于$\{y\in X:y\sim x\}$的闭包；最后根据习题13.4.8，由于$\{y\in X:y\sim x\}$是连通的，我们有$\{y\in X:y\sim x\}$的闭包也是连通的。于是综合上面的内容即有：

存在$X$的连通子集（$\{y\in X:y\sim x\}$的闭包）包含$x_0$和$x$。

根据$\sim$的定义，于是即有$x_0\sim x⟹x_0\in \{y\in X:y\sim x\}$，这与反证假设矛盾。于是反证假设不成立，只能有$\{y\in X:y\sim x\}$是闭的。

综上，于是我们得证了$\sim$的等价类都是连通的闭集。

13.4.10 结合命题13.3.2和推论13.4.7，推导出关于紧致连通区域上的连续函数的定理，它推广了推论9.7.4 ​

我们先给出这个结论，然后再给出证明：

紧致连通区域上的连续函数的定理：设$(X,d)$是一个度量空间，$E$是$X$的一个紧致连通子集，并设$f:E\to \mathbb{R}$是$E$上的连续函数。我们令${\displaystyle M:=\underset{x\in [a,b]}{sup}f(x)}$与${\displaystyle m:=\underset{x\in [a,b]}{inf}f(x)}$分别是$f$的最大值与最小值，并且设$y$是介于$m$与$M$之间的一个实数。那么存在至少一个$c\in E$使得$f(c)=y$，更进一步地，我们有$f(E)=[m,M]$。

下面是证明：

首先由于$E$是紧致的并且$f$是连续的，因此根据命题13.3.2我们知道$f$在某点$x_{max}\in E$处达到最大值（也即$f(x_{max})=M$），在某某点$x_{min}\in E$处达到最大值（也即$f(x_{min})=m$）；然后由于$E$是连通的并且$f$是连续的，根据推论13.4.7，对任意$y\in [m,M]$都存在至少一个$c\in E$使得$f(c)=y$。因此，我们可以总结得到：

对任意$y\in [m,M]$都存在$c\in E$使得$f(c)=y$，于是对任意$y\in [m,M]$都有$y\in f(E)$；对任意$c\in E$由于$M$是$f$在$E$上的最大值且$m$是$f$在$E$上的最小值，于是对任意$f(c)\in f(E)$都有$m\le f(c)\le M⟹f(c)\in [m,M]$。

综上即有$f(E)\subseteq [m,M]$且$[m,M]\subseteq f(E)⟹f(E)=[m,M]$。

于是我们证明了我们的结论。

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实分析 9.1 实直线的子集

实分析 9.7 介值定理

实分析 11.1 划分

实分析 13.1 连续函数

实分析 13.3 连续性与紧致性