19.1 简单函数 ​

定义 ​

1. （19.1.1 简单函数）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的可测子集，并设$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$是一个可测函数。如果象集$f(\mathrm{\Omega })$是一个有限集，那么我们称$f$是一个简单函数。也就是说，存在有限个实数$c_1,c_2,...,c_N$，使得对于每一个$x\in \mathrm{\Omega }$都存在一个$1\le j\le N$满足$f(x)=c_j$。

   （注：一个简单函数的例子，设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的可测子集，并设$E$是$\mathrm{\Omega }$的可测子集，定义特征函数${\chi }_E:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$为：当$x\in E$时，${\chi }_E(x)=1$；当$x\notin E$时，${\chi }_E(x)=0$（在某些教材中，特征函数${\chi }_E$也被写作$1_E$，并称为指示函数）。那么${\chi }_E$是一个可测函数，并且它还是一个简单函数，因为象集${\chi }_E(\mathrm{\Omega })=\{0,1\}$（或者，当$E=\varnothing$时${\chi }_E(\mathrm{\Omega })=\{0\}$；当$E=\mathrm{\Omega }$时${\chi }_E(\mathrm{\Omega })=\{1\}$））

2. （19.1.6 简单函数的勒贝格积分）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的可测子集，并设$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$是一个非负的简单函数。那么$f$是可测的，象集$f(\mathrm{\Omega })$是有限集并且包含在$[0,+\mathrm{\infty })$中。于是，我们将$f$在$\mathrm{\Omega }$上的勒贝格积分${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f}$定义为：

   $${\int }_{\mathrm{\Omega }}f:=\sum _{\lambda \in f(\mathrm{\Omega });\lambda >0}\lambda m(\{x\in \mathrm{\Omega }:f(x)=\lambda \})$$

   （注：我们有时也把${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f}$记作${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f\text{d}m}$以此来强调勒贝格测度$m$的作用，或者如果黎曼积分时那样用一个像$x$这样的虚拟变量，比如${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f(x)\text{d}x}$；这个定义与我们对积分的直观概念相对应，即将积分看作函数图像下方的面积）

命题 ​

1. （19.1.3）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的一个可测子集，并设$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$和$g:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$是简单函数。那么$f+g$是一个简单函数，另外，对于任意的标量$c\in \mathbb{R}$，函数$cf$也是一个简单函数。

   （注：引理19.1.3给出了简单函数构成了向量空间这一基本性质）

2. （19.1.4）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的一个可测子集，并设$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$是一个简单函数。那么存在有限多个实数$c_1,...,c_N$和$\mathrm{\Omega }$中的有限多个互不相交的可测集$E_1,E_2,...,E_N$使得${\displaystyle f=\sum _{i=1}^N{c}_i{\chi }_{E_i}}$。

   （注：引理19.1.4给出了简单函数是特征函数的线性组合这一基本性质）

3. （19.1.5）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的一个可测子集，并设$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$是一个可测函数。如果$f$始终是非负的，即对于所有的$x\in \mathrm{\Omega }$都有$f(x)\ge 0$，那么存在一个简单函数序列$f_1,f_2,f_3,...$，其中$f_n:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$，使得序列$f_n$是非负且单调递增的：

   $$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega },0\le f_1(x)\le f_2(x)\le f_3(x)\le ...$$

   而且该序列逐点收敛于$f$：

   $$\mathrm{\forall }x\in \mathrm{\Omega },\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=f(x)$$

   （注：引理19.1.5给出了可测函数可以由简单函数逼近这一基本性质）

4. （19.1.9 非负简单函数积分的另一种表述？）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的一个可测子集，并设$E_1,E_2,...,E_N$是$\mathrm{\Omega }$的有限多个互不相交的可测子集。设$c_1,...,c_N$都是非负数（不必两两不同），那么有

   $${\int }_{\mathrm{\Omega }}\sum _{j=1}^N{c}_j{\chi }_{E_j}=\sum _{j=1}^n{c}_{j}m(E_j)$$

5. （19.1.10 非负简单函数勒贝格积分的基本性质？）设$\mathrm{\Omega }$是${\mathbb{R}}^n$的一个可测子集，并设$f:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$和$g:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$都是非负简单函数。那么有：

   1. ${\displaystyle 0\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}f\le \mathrm{\infty }}$。另外，${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f=0}$，当且仅当$m(\{x\in \mathrm{\Omega }:f(x)\ne 0\})=0$。
   2. ${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}(f+g)={\int }_{\mathrm{\Omega }}f+{\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$。
   3. 对于任意的正数$c$，有${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}cf=c{\int }_{\mathrm{\Omega }}f}$。
   4. 如果对于所有的$x\in \mathrm{\Omega }$都有$f(x)\le g(x)$，那么${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f\le {\int }_{\mathrm{\Omega }}g}$。

   （注：如果我们做一个约定：如果性质$P(x)$对于$\mathrm{\Omega }$中除了测度为零的集合之外的所有点都成立，那么我们称$P$几乎对于$\mathrm{\Omega }$中的每一点都成立。于是，(a)断定了${\displaystyle {\int }_{\mathrm{\Omega }}f=0}$当且仅当$f$几乎在$\mathrm{\Omega }$中的每一点处都等于零）

课后习题 ​

19.1.1 证明引理19.1.3 ​

我们先证明$f+g$也是一个简单函数。

注意到：

$$(f+g)(\mathrm{\Omega })=\{f(x)+g(x):x\in \mathrm{\Omega }\}\subseteq \{f(x)+g(y):x,y\in \mathrm{\Omega }\}$$

于是这表明了$(f+g)(\mathrm{\Omega })$的基数小于等于$\{f(x)+g(y):x,y\in \mathrm{\Omega }\}$的基数。

接着注意到我们可以建立从$f(\mathrm{\Omega })\times g(\mathrm{\Omega })$到$\{f(x)+g(y):x,y\in \mathrm{\Omega }\}$的满射$h(a,b):=a+b$，于是利用这个满射，我们额外定义函数$h^{\prime }$是从$\{f(x)+g(y):x,y\in \mathrm{\Omega }\}$到$f(\mathrm{\Omega })\times g(\mathrm{\Omega })$的映射，它为每一个$a\in \{f(x)+g(y):x,y\in \mathrm{\Omega }\}$指定一对从$h^{-1}(\{a\})$中挑选出来的元素。显然有$h^{\prime }$是一个单射，从而我们有$\{f(x)+g(y):x,y\in \mathrm{\Omega }\}$的基数小于等于$f(\mathrm{\Omega })\times g(\mathrm{\Omega })$的基数。

于是综上，我们论证了$(f+g)(\mathrm{\Omega })$是基数小于等于$f(\mathrm{\Omega })\times g(\mathrm{\Omega })$的集合。然后由于$f,g$都是简单函数，因此我们有象集$f(\mathrm{\Omega })$和$g(\mathrm{\Omega })$都是有限集。从而$f(\mathrm{\Omega })\times g(\mathrm{\Omega })$也是有限集，进而$(f+g)(\mathrm{\Omega })$也是有限的，也即$f+g$是简单函数。

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然后我们证明$cf$也是一个简单函数。

若有$c=0$，则此时显然有$(cf)(\mathrm{\Omega })=\{0\}$是有限的；若$c\ne 0$，则我们可以建立从$f(\mathrm{\Omega })$到$(cf)(\mathrm{\Omega })$的双射$h(x):=cx$，因此此时有$(cf)(\mathrm{\Omega })$和$f(\mathrm{\Omega })$一样都是有限的。总而综合即对任意的实数$c$都有$(cf)(\mathrm{\Omega })$是有限的，也即$cf$是一个简单函数。

19.1.2 证明引理19.1.4 ​

由于$f$是一个简单函数，因此我们不妨将它的象集$f(\mathrm{\Omega })$写成$\{c_1,...,c_N\}$的形式。然后我们注意到由于$\{c_i\}$是$\{c_1,...,c_N\}$中的开集（$1\le i\le N$），因此根据相对拓扑我们知道存在$\mathbb{R}$中的开集$W_i$使得$f(\mathrm{\Omega })\cap W_i=\{c_i\}$，接着由可测函数的定义有$f^{-1}(W_i)$可测（也就是$f^{-1}(\{c_i\})$）。于是我们令$E_i:=f^{-1}(\{c_i\})$（$1\le i\le N$），显然我们可以注意$E_1,...,E_N$之间两两互不相交到此时我们考察函数：

$$g=\sum _{i=1}^N{c}_i{\chi }_{E_i}$$

对任意的$x\in \mathrm{\Omega }$，$f(x)$应当是$c_1,...,c_N$中的一个实数，我们不妨设它是$c_j$（从而$x\in E_j$）。那么计算$g(x)$，根据特征函数的性质我们必然有：

$$g(x)=\sum _{i=1}^N{c}_i{\chi }_{E_i}(x)=\sum _{1\le i\le N;i\ne j}^N{c}_i\cdot 0+\sum _{1\le i\le N;i=j}^N{c}_i\cdot 1=c_j$$

从而我们可以得证有$f(x)=g(x)$对任意的$x\in \mathrm{\Omega }$成立，从而引理19.1.4得证。

19.1.3 证明引理19.1.5（提示：令 ​

即$f_n(x)$是既不大于$f(x)$也不大于$2^n$的$2^{-n}$的最大整数倍，画一张图来看一下$f_1,f_2,f_3$等都是什么，然后证明$f_n$满足所需要的所有性质） ​

对任意的$n\ge 1$，我们定义函数$f_n:\mathrm{\Omega }\to \mathbb{R}$为：

$$f_n(x):=sup\{\frac{j}{2^n}:j\in \mathbb{Z},\frac{j}{2^n}\le min(f(x),2^n)\}$$

我们首先证明每一个$f_n$都是简单函数。考察$f_n$的定义，注意到${\displaystyle \{\frac{j}{2^n}:j\in \mathbb{Z},\frac{j}{2^n}\le min(f(x),2^n)\}}$是有限集，因此上确界$f_n(x)$事实上就是这个集合的最大值；又因为$f(x)$与$2^n$都非负，因此显然有${\displaystyle 0\in \{\frac{j}{2^n}:j\in \mathbb{Z},\frac{j}{2^n}\le min(f(x),2^n)\}}$，从而根据最大值的要求必然有$f_n(x)\ge 0$；另外，由于${\displaystyle \frac{j}{2^n}\le 2^n}$，因此我们有$2^n$是${\displaystyle \{\frac{j}{2^n}:j\in \mathbb{Z},\frac{j}{2^n}\le min(f(x),2^n)\}}$的一个上界，也即有$f_n(x)\le 2^n$。

从而综合上面的内容，我们知道对每一个$x\in \mathrm{\Omega }$都存在一个整数$k\in \mathbb{Z}$使得${\displaystyle f_n(x)=\frac{k}{2^n}}$与$0\le f_n(x)\le 2^n$同时成立，显然$k$至多有$4^n+1$个取值可能，因此必然有$\mathrm{\#}(f_n(\mathrm{\Omega }))\le 4^n+1$，也即$f_n(\mathrm{\Omega })$是一个有限集。

然后考虑任意的实数$a$，考察：

$$f_n^{-1}([a,\mathrm{\infty }))=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\Omega }& \text{if}a\le 0\\ f^{-1}\left([\frac{k+1}{2^n},\mathrm{\infty })\right)& \text{if}a\in (0,2^n]\wedge \frac{k}{2^n}<a\le \frac{k+1}{2^n}(k\in \mathbb{Z})\\ \varnothing & \text{if}a>2^n\end{array}$$

$a\le 0$与$a>2^n$的情况结论是显然的，主要需要关注第二种情况。$f_n^{-1}([a,\mathrm{\infty }))$包含全体满足$f_n(x)\ge a$的$x\in \mathrm{\Omega }$，而$f_n$又只会是$2^{-n}$的整数倍，因此事实上$f_n^{-1}([a,\mathrm{\infty }))$就等于${\displaystyle f_n^{-1}\left([\frac{k+1}{2^n},\mathrm{\infty })\right)}$；然后我们回顾$f_n$的定义，设$x\in \mathrm{\Omega }$是定义域中的一个元素。当$f(x)\ge 2^n$时，此时有${\displaystyle f_n(x)=2^n\in [\frac{k+1}{2^n},\mathrm{\infty })}$；当${\displaystyle \frac{k+1}{2^n}\le f(x)<2^n}$时，根据定义也可以得到${\displaystyle f_n(x)\ge \frac{k+1}{2^n}}$，也即$x\in {\displaystyle f_n^{-1}\left([\frac{k+1}{2^n},\mathrm{\infty })\right)}$；当${\displaystyle f(x)<\frac{k+1}{2^n}}$时，根据定义有${\displaystyle f(x)\le f_n(x)<\frac{k+1}{2^n}}$，也即${\displaystyle x\notin f_n^{-1}\left([\frac{k+1}{2^n},\mathrm{\infty })\right)}$。

从而综合我们可以得到${\displaystyle f_n^{-1}([a,\mathrm{\infty }))=f_n^{-1}\left([\frac{k+1}{2^n},\mathrm{\infty })\right)=f^{-1}\left([\frac{k+1}{2^n},\mathrm{\infty })\right)}$，这就是第二种情况下结论的由来。

再使用习题18.5.4中我们证明的辅助结论，我们可以得证$f^{-1}([a,\mathrm{\infty }))$是可测的。从而同样是依据习题18.5.4证明的辅助结论，我们可以得到$f_n$是满足“对任意的实数$a$，都有$f_n^{-1}([a,\mathrm{\infty }))$可测”的函数，也就是说$f_n$是可测的。

综上，于是我们证明了每一个$f_n$都是满足象集$f_n(\mathrm{\Omega })$有限的可测函数，于是得证每一个$f_n$都是简单函数。

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然后我们证明$f_n$是逐点收敛于$f$的。

考虑任意的$x\in \mathrm{\Omega }$。由于$(2^n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$是发散到无穷的序列，因此我们知道必然存在一个足够大的$N\ge 0$满足$2^n\ge f(x)$对所有的$n\ge N$都成立。于是我们考虑考察$n\ge N$时$f_n(x)$的取值，此时$f_n$的定义变为：

$$f_n(x):=max\{\frac{j}{2^n}:j\in \mathbb{Z},\frac{j}{2^n}\le f(x)\}$$

于是我们有：

$$f_n(x)\le f(x)<f_n(x)+2^{-n}⟹|f_n(x)-f(x)|<2^{-n}$$

然后取极限，根据比较原理我们有：

$$0\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|f_n(x)-f(x)|\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{2}^{-n}=0⟹\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|f_n(x)-f(x)|=0$$

从而根据命题12.1.1，这表明了${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x)=f(x)}$。由于此结论对所有的$x\in \mathrm{\Omega }$都成立，因此也即$f_n$是逐点收敛于$f$的，结论得证。